未必孤独网 > 什么是 Expected Shortfall (ES),相比 VaR 它有什么优点?

什么是 Expected Shortfall (ES),相比 VaR 它有什么优点?

【雷骁的回答(40票)】:

@黑猫Q形态 对于两者的构造和应用讲的听清楚了,但是所有答案都没说到一个很重要的问题,也是我认为监管机构要用CVaR的原因之一,那就是ES(CVaR)是convex的指标,所以可以以此为目标函数来做资产配置优化,而VaR作为非凸指标很难应用于资产配置的调整里。

所谓的convex就是各种金融风险书里说的subaddtivity,次可加性。这个性质在优化里是一个非常重要的性质:如果目标函数是凸函数,意味着局部最小值就是全局最小值,并且可以用梯度下降等方法找到全局最优解。在资产配置(portfolio management)领域中,最简单如马克维茨有效边界理论里面,限定资产组合的方差水平,以加权收益率为目标函数求极大值,或者限定收益率水平,以方差作为目标函数求极小值,之所以可行,是因为线性的目标函数和二次的目标函数都是凸函数。

VaR和CVaR的核心区别就在于这里。假如我想降低投资组合的风险,我可以用方差,但这个指标在监管中的确没什么用,监管机构想知道极端情况下的损失情况。这个时候我们可以用CVaR作为优化指标,找到使CVaR最大化的投资组合权重(因为是负值所以求最大值)。如果我的资产组合当前的CVaR过小了,风险太大,我可以通过求解一个可行的优化问题寻找CVaR最大调整权重,就算不是一下调到位,我也可以按照这个方向调整,CVaR一定会随着调整而增大的。而用VaR的话,也许存在一个权重组合可以使VaR变大,但第一很难计算,第二你必须一下调整的到这个最优的权重,因为任何的过渡权重都不能保证VaR的值在变大。

举个例子说明:假如一共有10种资产,每种资产都有10种可能的收益率,每种情况的可能性均等,也就是一共一百种情形。我的投资组合权重为X=(x1,x2,...,x10),限制条件所有xi相加和为1.

如要优化95%置信水平的VaR值,我们要写这样的式子:

其中v是VaR值,限制条件第一行求解每种scenario的收益率,第二第三行是为了构造指示函数I,如果第k种情况下的收益率低于VaR值,记为1,否则为0。小于VaR的情形只能有5种,因为我们要求的是95%的置信水平,所以有了第四行。

这个优化问题一共有100个0-1变量。0-1变量会使计算的复杂度骤然提高,要知道我们才考虑10种资产,每种资产10种可能的收益率,在现实中的问题远远比这要复杂多了,很可能在有限的时间内根本找不到最优解。

那么如果是CVaR呢?

我们的目标函数会变为

也就是只有v-r_k大于0的情型才会被计算,并且会被除以5%,因为我们只关注尾部5%的情况。这时候再做一个变换,设置一个变量也就是只有v-r_k大于0的情型才会被计算,并且会被除以5%,因为我们只关注尾部5%的情况。这时候再做一个变换,设置一个变量

此后我们的优化问题可以变成这种形式:此后我们的优化问题可以变成这种形式:

其中限制条件的第2,3行正好构造了W_k。其中的细节不多说了大家也不会感兴趣,但是这时候我们的问题已经没有0-1变量了,而是一个线性规划问题!哪怕数据量很大,线性规划问题的解决时间也比较快。

所以,在现实生活中使用CVaR而非VaR是有原因的。你可能说谁没事优化CVaR呢?你可以把CVaR当成目标函数的一部分嘛,比如50%CVaR+50%收益率,只要是凸函数的凸函数,那就依然是凸函数。

看在我打了这么多latex公式份上点个赞不过分吧=。=

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【呵呵的回答(10票)】:

看到这道题很亲切啊,正好我最近在复习这方面的内容,那就为题主解答一下了。

Expected Shortfall,又称Conditional VaR,满足次可加性,主要研究尾部损失的均值,假设每个损失所占的权重一样大,对尾部极端值求均值,计算结果更贴近实际情况,但是ES的计算比较麻烦。

VaR,Value at Risk,就是在给定时间的置信区间下,最大的损失是多少,比如在95%的情况下的损失,这个点所占的权重是100%,具有非次可加性,而且对尾部极端值不能做出分析说明,但是计算比较方便,通俗易懂。

那么什么是次可加性呢?

Subaddtivity,这个单词由Sub和addtivity构成,Sub是“次”的意思,比如次贷危机(subprime crisis)、随后(subsequence),add是“加”的意思,tivity表示性质,比如积极性(activity)、集体性(collectivity),这个单词就是“次可加性”的意思。

比如现在有两个投资产品,A和B,他们的风险分别是A`和B`,如果你同时投资这两个产品,那么你的投资组合的风险是要小于A`和B`相加的风险的,这就叫次可加性。

我们常听说的,分散投资,不要把鸡蛋放在同一个篮子里,说的就是这个道理。

非次可加性,就是不满足这个条件了,投资组合的VaR在极端情况下,会大于两个产品的独立VaR之和。

至于更加详细的内容,还请题主翻阅相关资料学习,Fanancial Risk Management 是一门相当系统的学科,更是一门哲学。

想了解更多关于财务金融方面的内容,请看我这篇文章:

不懂财务金融?看过这篇文章你就入门了

【YoungJo的回答(3票)】:

好处楼上说的差不多了,Subaddtivity 和 考虑了 extreme situations, 但也有坏处, 比如估计一个sample 的 ES, 如果用最常用的方法, 就是将超过 VaR 的losses 取算数平均, 这样得到的ES的 估计是很varied的, 尤其是在厚尾现象严重而且样本数量不大的情况,但 VaR 相比下会更加稳定, 主要是因为 极端情况在sample size 不大的情况下很可能不出现在我sample里,这样对ES的影响很大。当然,也有用kernal distribution去拟合losses 的分布然后得到一个更加smooth的分布,然后用定义求ES, 但目前看来效果一般。

ES的backtest也比较复杂,存不存在都有争论,当然现在是有几种办法的。但VaR的backtest就简单明了很多,也不存在什么争议,方法也统一。

另外, CVaR 和 ES 严格扣定义的话,是有一些不同的,这些不同主要是存在不连续的loss 分布,区别不是很大。

【慕雨柔的回答(2票)】:

补充一句,在 Historical Simulation 的意义下,几乎所有的银行算 VaR 都是用的 ES 做 proxy。如果假设正态分布, 99% 的 VaR 约等于 97.5% 的 ES。因此 VaR 的计算是取损失最大的 7 天平均(一年 window )。

【黑猫Q形态的回答(22票)】:

吐槽更新:我想说今天下午GS电面我问了一模一样的问题………………我这算压中了?

@陈皇宇 Renco 大大邀,不会也要强答。

好吧其实我会……

ES和VaR的区别在计算上很明显,在实际效果值得讨论。

VaR是“分位值”:

对应的是分布中红线那个位置的值,翻译成人话就是:我有a%的把握明天的损失不会大于VaR(损失当然是负的了,所以一般取绝对值)

而ES则是 大于一个置信度(小于一个分位)的条件期望,在图上是好是红线左边对应所有损失的的期望,翻译成人话是:(1-a%)糟糕的状况发生之后的加权平均损失

计算ES其实就是条件概率的期望积分

至于使用效果如何,完全看backtesting和阈值啊

一般而言,这类risk measure计算无非是两类结果:1.我该给多少杠杆 2.我的资本充足率是多少

在这两个问题上,VaR和ES完全只有大小的区别。 很可能换一个波动率模型或者分布,VaR值就大于原先的ES了。举个例子,我把Normal下的VaR换成了 Standard t的VaR, 因为t分布有肥尾,quantile肯定比normal大。如果自由度低一点,尾巴肥一点,很可能值就大于原先的ES了。

那么多大,多小合适呢?完全是把backtesting的阈值说了算。一般来说,对于对于所有市场风险模型,我们都要对其进三种检验: 无条件检验(Unconditional coverage test),独立检验(independent test),和条件检验(Conditional coverage test)

简单的说我们要做三个Chi-square检验:

为给定标准的似然概率(给定置信度下的损失大于模型的“额定”似然概率)

为实际测试的似然概率(回测实际损失大于置信度的似然概率)

为连续两天违反模型的概率(回测连续两天是计算时大于置信度的似然概率)

那么在固定置信度下,我们需要做:

上面三个全是“是”检验,意思是接受才是对的模型。

因此,广义的说我们不能去泛泛的去谈那个risk measure好不好,而是:哪一种波动率假设和分布假设下的VaR或者ES对于哪一只资产在哪一段时间的回测能不能通过检验

当然,横向比较:同一个分布和波动率假设下,ES的值当然比VaR大的多,也就是资本金要更加充足。这种无条件的“大”估计是 basel强行要求充足率要用ES的计算的原因,监管者就是喜欢一些简单粗暴好管的东西嘛~

【幽州古道的回答(1票)】:

VaR值表示分布上的那个分位数点。但没法表述尾部分布是怎么样的。

ES算的是尾部分布的均值。相对而言,ES比VaR更适合表征尾部风险。

【Lucas的回答(1票)】:

通俗的说VaR是100%的weight都放在一个点,而比那个点的风险更大的地方,weight却是0,所以一不小心就低估风险了。

而ES是所有的点weight都一样,从风险管理的角度来说更合理。

【奥特曼在哪的回答(0票)】:

楼上的回答都很全面,我就不逼逼了。

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