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测地线上为什么时间最长,时间流逝最慢?

【周恩平的回答(31票)】:

谢邀

首先来说,题主产生疑惑完全正常,因为在我看来,你所拍下来的科普书的段落中至少有两点明显的错误,也正是这两个关键的错误导致了你的不解:

错误一:题主图一中“那么它的运动轨迹就是一条测地线——就是时间流逝最慢的那条线”

正确表述:时空中的类时测地线是固有时(proper time)极大值的线,也就是固有时流逝最快的那条线。(其实图一最下边题主划线的那个句子,除了作为一本科普书没有区分固有时和坐标时之外,基本已经描述对了,但是经历的时间最长明明说明时间流逝最快,前边这里却说成了最慢,这不是物体教,这是语死早)。

错误二:题主图三中“光束将在两点之间走所需时间最少的路径(这就是所谓的费马最短时间原理)”

正确表述:光束在两点之间走光程的一阶变分为零的路径,或者说,走光程最短、最长或者拐值的路径。

-------------------------------------------------------------错误一-----------------------------------------------------------

我已经指出了,这只是一句明显的语文错误,固有时极大说明的是时间流逝得快而非慢,当然,我想题主也未必知道为什么类时测地线是固有时极大曲线,以及固有时极大代表了什么物理意义。而且许多回答已经又开始扯起了“同时相对性,所以何来时间快慢”这样的话,说明有很多人还搞不懂坐标时和固有时,那我也来解释下吧。

何为固有时,简单来说就是世界线的长度,他具有以下几个的性质

1.一条世界线的固有时是坐标系不变量

正是因为对于某一特定世界线来说,固有时是个坐标系不变量,所以我们确实可以在任何参照系的任何坐标选择下对同一段世界线得到同一个固有时的值。虽然这是任何一门广相课,任何一本广相书第一章节在温习狭义相对论并引入张量描述时候必然会讲的东西,所以这条性质对任何正经学过相对论的人来说就跟常识一样平凡。不过因为这有悖于只“听说”过狭义相对论的人“没有什么东西是绝对”的哲学世界观,因而很有可能会被人问到,那我干脆具体解释下这样以后再有人对此发难时可以不必再费口舌。

假设在二维平面(也就是说是平直的二维空间)上,有A、B两个确定的点,那我如果问,通过A-B两点的所有曲线里,长度极值的是哪一条?那肯定是连接AB的这条直线,如果再追问这个AB的长度是多少,大家也可以根据假设在二维平面(也就是说是平直的二维空间)上,有A、B两个确定的点,那我如果问,通过A-B两点的所有曲线里,长度极值的是哪一条?那肯定是连接AB的这条直线,如果再追问这个AB的长度是多少,大家也可以根据

很简单的求出来,比如两厘米。

但是现在假设还是在同一个二维平面(即还是之前的平直二维空间)上,只是画坐标系的时候因为手抖画得如右边那样歪七扭八,在这个新的坐标系里,再问A和B之间的长度极值的曲线是哪一条?依然是刚才那条直线,尽管可能在新的坐标系里它的解析方程可能已经不在是一个直线的方程,但是却不会改变它路程最短的性质,如果再问这条曲线的长度是多少,它依然是两厘米,这说明,虽然坐标系变了,但是我们也知道坐标系不是之前的直角坐标系因而不能再用同一种计算距离的方法了,这个“计算距离的方法”就是度规张量

,引出度规张量之后,线元的长度就可以写成一个协变的形式:

在坐标系发生某种变换的时候,一个张量根据其指标在上还是在下,作的变换刚好相反(指标在下的叫协变张量,在上的叫逆变张量)。在我们做坐标变换的时候,x和y坐标都要发生变换,而度规张量却会按跟x、y相反的方式变化两次(也就是我们都知道要按不同的方法去求距离这件事的具体数学描述),所以最后所有的变化抵消掉,因而任凭你怎么开心怎么取坐标系,取得再奇形怪状,也不会影响二维平面给定曲线的距离,这个

是坐标系不变量。

不过爱因斯坦告诉我们,时间和空间应该被当做一个整体考虑,那我们把上面例子中的y轴换成时间轴t,就得到了一个时空示意图(这里相当于一维空间+一维时间)

刚才的例子中讨论的点,在时空图中代表事件,比如A可以代表百米赛跑的起跑枪声鸣响,B可以代表某个运动员冲过终点。在A、B之间有因果关联的情况下,类时曲线连接,即世界线,因为这是有静质量的粒子可能的运动路径,世界线就对应于刚才的例子中的曲线。而刚才的例子中曲线的长度,在这里就对应于世界线的长度,叫做固有时。(A、B之间没有因果关联的情况下也可以有类空曲线连接,对应的曲线长度叫做固有距离proper length,但是包括光在内都不可能走类空的路径)类似于刚才的距离定义式,固有时的微元刚才的例子中讨论的点,在时空图中代表事件,比如A可以代表百米赛跑的起跑枪声鸣响,B可以代表某个运动员冲过终点。在A、B之间有因果关联的情况下,类时曲线连接,即世界线,因为这是有静质量的粒子可能的运动路径,世界线就对应于刚才的例子中的曲线。而刚才的例子中曲线的长度,在这里就对应于世界线的长度,叫做固有时。(A、B之间没有因果关联的情况下也可以有类空曲线连接,对应的曲线长度叫做固有距离proper length,但是包括光在内都不可能走类空的路径)类似于刚才的距离定义式,固有时的微元

(这里是否有负号取决于度规的范式用的是[-1,1,1,1]还是[1,-1,-1,-1])

不同于在平直空间里的平方和相加,在平直的时空(即闵氏时空)中,把度规张量具体代入后,其表达式为,

从空间的间隔是个负的贡献可以直观得理解为什么空间里两定点间的短程线,在平直时空中却成为了两定点间固有时的长程线,当然我后边会在弯曲时空里给出一个更直接的证明。

由于固有时的定义式也是个指标平衡的张量方程,所以固有时是个坐标系不变量。(这样通过总的上下指标相等的各种张量缩并得到的量,广相里称为标量,但是它比一般物理书中说的标量具有更好的性质——坐标系不变性,比如密度因为没有方向,我们也可以叫它标量,但是它并不是一个坐标系不变量。)

所以虽然狭义相对论告诉我们,各种不同的惯性运动的观测者的时空结构会发生变换,因而对于同样的两个事件,不同的观测者会给出不同的时间间隔(也就是这个观测者建立的坐标系的坐标时)和空间长度(也就是这个观测者建立的坐标系的坐标长度),但是因为固有时是个标量,即坐标系不变量,因而并不会有任何变化。那这个不变化的标量,有什么物理意义呢?

2.固有时是沿着给定世界线运动的时钟所流逝的时间

这个也很好理解,如果一个理想时钟沿着某条世界线运动,那么在这个钟表自己的参考系里,自己的空间位置从来没有发生过变化,所以固有时定义式中跟空间移动有关的求和都没有了,所以固有时只跟坐标时,即这个理想时钟的时间流逝有关。即使在弯曲时空里,因为总可以取到黎曼正则坐标系即局域惯性系,总有

所以说固有时的大小确实可以表示连接时空两点的世界线上时间流逝的快慢,大了就表明走这条世界线的人(单摆、原子钟、具有固定半衰期的粒子等等)所经历的时间更久。

3.光走的世界线(类光测地线)的长度(固有时)是0,因而其路径又叫零测地线

这个有若干种办法去理解,比如光速是速度极限,随着速度接近光速,时间流逝的速度会越来越慢,所以对于光速这个极限,时间是不流逝的,因而固有时是0.

当然也可以用光速不变原理来推出,比如在闵氏时空里,我们要任何参考系里测到的真空光速都是c,所以自然有

。(事实上之所以闵氏时空的度规tt分量跟空间方向分量反号也正是为了满足光速不变原理,只有用[-1,1,1,1]才能在光速不变的原理下给光的世界线构造一个坐标系不变的固有时出来,因而最后结果是0也就不意外了。)

时空某一点处所有类光测地线的集合构成了一个光锥,所有的有静质量粒子都只能在这个光锥内运动,其世界线对应的固有时为正值,也就是所谓的有静质量粒子的速度都不可能达到或者超过光速(因而时间都是在流逝的)。

有了这些就可以论证类时测地线的最大固有时特性了,上边讨论的都是世界线,也就是所有有质量粒子可能走的路径,测地线只是一种特殊的世界线,即除了引力之外没有受到其他任何外力的物体的运动对应的世界线,当然我们把引力看成了一种纯粹的时空弯曲效应,那么没有任何外力就是说物体在走这种弯曲时空上的“直线”。当然,弯曲时空里的直线已经不像我们所认识的平面空间里的直线那么直观了,用数学语言描述的话,类时测地线就是平移自己的切矢量的类时曲线,

这里的

是在弯曲时空里对张量求微分的算符,用形象语言描述这一式子就是说,沿着测地线的切矢量(也就可以理解为速度矢量,只是这里是四维速度)方向看过去,测地线的切矢量没有发生变化。这跟我们的对直线的感觉是一致的,或者说这是对牛顿第一定律的到弯曲时空一种推广。

中除了普通的偏导数,还包括了一个描述时空性质的联络,在广相里我们把联络取为克里斯托弗联络,因为这样做,可以使得平移自己切矢量的曲线同时也是长度极值的曲线(我们也可以直接从要求世界线的长度变分为0求出克里斯托弗符号的表达式),这样就跟我们在平直时空的期待更加一致。换句话说,在这种联络下,类时测地线是固有时极值的曲线

知道了是极值,距离回答楼主的问题就还差一步了,就是回答到底是固有时极大值还是固有时极小值。这个在平直时空也就是闵氏时空中是很容易判断的,不过我还是直接给出一个在弯曲时空的普遍证明,这个证明其实也很简单

比如此图中(取自Wald的 General Relativity的图9.5,在Carroll的Space time and Geometry中也有一样的证明,图3.3),类光测地线具有的固有时都是0,而类时测地线具有的固有时都是正值,由于类时测地线(

)总可以被一系列折返的类光测地线(

)逼近,因而我们在微小的任何一段里都可以选择一条比类时测地线更贴近类光测地线的类时曲线来连接,从而让这一小段的固有时更接近于0,也就是使固有时减小。换句话说,对类时测地线的微小路径改变可以使其固有时变小,而我们又知道类时测地线的固有时是邻域内各种类时路径的极值,因而只能是极大值

这个结论有什么用呢?这说明当我们走测地线的时候,时间流逝是最快的,这其实也是双生子佯谬的现代解释:即,双胞胎里走测地线(没有去外太空旅行)那个人年龄会更大,因为他的世界线固有时是极大值,这也是为什么说固有时极大值说明时间流逝是快而不是慢。由于固有时是在狭义相对论里就可以定义的概念,所以说双生子佯谬(只要去太空旅行那个不是去黑洞附近兜了一圈)纯粹是一个狭义相对论问题。有很多人认为狭义相对论不能处理有加速度的问题,这是很荒谬的,狭义相对论可以处理平直时空的任何问题,有加速度的运动无非在平直时空里得到一条弯曲的世界线,对这个世界线我们一样可以用微积分的办法对固有时微元求和得到一个固有时,并比较固有时大小。关于双生子佯谬以及固有时的意义,可以参考关于时钟佯谬这篇文章(这个作者也是我很喜欢的一个科普作者,不过阅读其文章可能需要一定的数理基础)。

另外还有一个比较有意思的事,那就是因为我们掉入黑洞之后都不可避免的会掉入奇点去,所以我们一旦进入视界面(即有了一个确定的事件A),当t某个有限值时候我们一定都会位于r=0的奇点,比如取定t_1,r=0,代表了一个事件B,假设我们掉入黑洞和奇点可以不死的话,那么你掉进了视界面之后可千万别挣扎,不要去尝试启动火箭、引擎什么的想要抵抗这个掉落,因为你一定会从事件A到事件B,那么你胡乱挣扎只能导致你偏离测地线从而减小这两段之间的固有时,也就是说。。你会死得更快。。当然,这个纯属脑洞大开,只是为了更形象得说明时空中的类时测地线和空间里的曲线在长度上是多么不同。

-------------------------------------------------------------错误二-----------------------------------------------------------

关于费马原理,我们可以用两段费曼的话来解释清楚,第一段来自于Lewis H Ryder的Quantum Field Theory一书中第五章的题头,是F.J.Dyson回忆的一段话,也是我最喜欢的一段诠释:

Thirty-one years ago, Dick Feynman told me about his 'sum over histories' version of quantum mechanics. 'The electron does anything it likes,' he said. 'It goes in any direction at any speed, forward or backward in time, however it likes, and then you add up the amplitudes and it gives you the wave-function.' I said to him, 'You're crazy.' But he wasn't.
斗胆翻译一下,就是说,费曼告诉我“一个电子会做它想做的任何事情,它以它喜欢的任何方式出现在空间的任何角落,以任何一种速度往任何一个方向移动,走遍任何可能的一条路径。你把所有的这些可能的幅度都求和,得到的就是电子的波函数。”我对他说“你疯了吧!” 然而他没有。

在这种诠释下,其实根本不存在什么运动路径,无论听起来多么荒谬,这确是在量子层次上理解自然界的结论。这里的电子当然也可以换成费马原理里的光子,那么同样的,光子也可以走任意一条路径,那么为什么在经典情形下,我们依然可以觉得光子是沿着某种确定路径传播的呢?这就要搬出费曼的第二段话了,而且它自动在这个随心所欲的光子的假设下论证了费马原理,

(来自于费曼物理学讲义第二卷第19章)

You remember that the way light chose the shortest time was this: If it went on a path that took a different amount of time, it would arrive at a different phase. And the total amplitude at some point is the sum of contributions of amplitude for all the different ways the light can arrive. All the paths that give wildly different phases don’t add up to anything. But if you can find a whole sequence of paths which have phases almost all the same, then the little contributions will add up and you get a reasonable total amplitude to arrive. The important path becomes the one for which there are many nearby paths which give the same phase.
(注意光程等于路程乘以折射率,因而正比于光传播的实验室参考系的时间,对于特定频率的光来说就决定了最终的相位和初始的相位之间的关系)也就是说,光确实是走了空间中所有可能的路径,只是那些不处于“光程一阶变分为0”的路径上的光,在达到了我们接收的点时,因为相位不同而互相抵消掉最终没有任何贡献,只有处于“光程一阶变分为0”附近的路径上的光线到达的时候具有的相位接近,才能累积出贡献。

比如在这个最简单的情况中,假设真空中有一个光源和一个探测器,我们的经典直觉是光线会走穿过O点的那条直线,实际上,光子也等概率得走了经过x轴的任何一个点的折线到达探测器,比如光子可以从经过A点附近的折线到达探测器,右侧我画出了光子经过x轴上不同的点到达探测器的折线路程,显然在O点那里是有一个极值的(也就是一阶变分为0)。不同的路径对应了一个等概率事件,但由于有无限多种路径,为了得到一个非0的概率必须要考虑一个邻域的积分贡献(比如说A事件可能会在1点0分0秒-2点0分0秒之间等概率得发生,但是A事件刚好发生在某一个确定时刻1点30分00秒的可能性却是0,必须要说A点发生在1点30分00秒到1点31分00秒之间的可能性多大,才可以得到一个有限的概率1/60),而经过O点邻域红色部分的所有路径的光,从图中可以看出基本具有同样的光程(这是由光程一阶变分为0保证的,可以用泰勒展开的思想理解,在忽略二阶小量的情况下,比如在这个最简单的情况中,假设真空中有一个光源和一个探测器,我们的经典直觉是光线会走穿过O点的那条直线,实际上,光子也等概率得走了经过x轴的任何一个点的折线到达探测器,比如光子可以从经过A点附近的折线到达探测器,右侧我画出了光子经过x轴上不同的点到达探测器的折线路程,显然在O点那里是有一个极值的(也就是一阶变分为0)。不同的路径对应了一个等概率事件,但由于有无限多种路径,为了得到一个非0的概率必须要考虑一个邻域的积分贡献(比如说A事件可能会在1点0分0秒-2点0分0秒之间等概率得发生,但是A事件刚好发生在某一个确定时刻1点30分00秒的可能性却是0,必须要说A点发生在1点30分00秒到1点31分00秒之间的可能性多大,才可以得到一个有限的概率1/60),而经过O点邻域红色部分的所有路径的光,从图中可以看出基本具有同样的光程(这是由光程一阶变分为0保证的,可以用泰勒展开的思想理解,在忽略二阶小量的情况下,

,在O点处导数为0,所以邻域内展开之后得到的光程几乎都跟O点一样),这也就意味着光子到达探测器时候具有几乎一样的相位,从而互相增强,而经过A点附近邻域的光,则是经过了相差许多的光程到达探测器的,因而到达探测器时相位差遍布0到2pi之间的各种可能,所以最后叠加的结果是互相抵消。

所以就可以理解,我们之所以觉得光走了O而没有走A,并不是因为O那里对应一条最短路径,而是因为光程的一阶变分在经过O的这条直线附近为0,即使右图中的光程函数上下反过来,在O处不是极小值而是一个极大值,也不影响这个结论。或者假设光程是

,那么光会走x=0的位置,虽然那里既不是极小值也不是极大值,但是那里的一阶变分为0,这里就对应于拐值。因而把费马原理表述为最小值是错误的,并没有理解其本质原因。

广相中,用线性化之后的场方程考虑光线在引力场中的偏折时,用零测地线在弯曲时空中的路径和把引力场等效为一个折射率跟时空度规tt分量关联的介质之后用费马原理得出的路径相同,这是一道很经典的练习题, @香草奶昔给出的答案即是在说明这一点。

说起来,这也是为什么我们初中还是高中的物理书中就讲过一个近似的结论,“只有当障碍物、小孔的尺寸小于波的波长时,才可以看到明显的干涉、衍射现象”,比如在此例中,如果把整个x轴都遮住,只在A处留一小孔,且小孔的尺寸小于光波长,那么经过小孔的所有光的光程差就也近似得小于光波长,所以到达探测器的光的光程差没有遍布0到2pi,于是会有一部分路径上的光没有被抵消,如果探测器位置合适,就可以看到亮纹(夫琅禾费衍射)。

----------------------------------------------一点感悟----------------------------------------------------------------------

写到这里身体感觉都要被掏空了,不过还是斗胆说一下我对相对论的一点感悟:

知乎上许多人总是说这个也是相对的那个也是相对的,时间不是绝对的,空间也不是绝对的,于是快慢没有意义,远近也没有意义,仿佛任何东西都没有办法处理了一样。其实并非如此,张量形式的引入的优越性正在于此,物理学家们在讨论问题时再也不用纠结于自己是说的哪个参考系的哪种坐标取法,张量随着坐标系变化而变化的性质保证了一个张量方程只要在某一个坐标系里成立就自动在任何一个坐标系都可以成立,物理学家们在从而挣脱了之前的对于坐标系的纠结,获得了前所未有的自由。这也是为什么广义协变原理中要求“任何物理定律都应该被写成或者至少能被写成协变的形式”。

对于参考系的要求也是如此,在有相对论之前,因为麦克斯韦方程组给出了一个定值的真空中光速,从而人们觉得必须要有一个绝对静止的参考系(以太)作为基石才能开始解决问题,而狭义相对论则移除掉这一基石,告诉我们所有的惯性系都是等价的,从惯性系出发就可以了,到了广义相对论,这一要求被继续降低,告诉我们只要找一个引力场中自由落体的参考系就可以了,甚至即使是弯曲时空中每一点都可以按照这个方式构造局域惯性系。

可以说只要你用的是一套协变的张量分析的思想,那么相对论实际上是解放了你的参考系和坐标系的选择,而不是束缚了你的选择。然而因为相对论这个名字听起来并不神秘,外加狭义相对论的数学变换非常简单,所以在国内哪怕在知乎上关于相对论的问题都如同一个雷区一样,各种妄加的理解层出不穷,这点在changhai.org 的页面上也有一篇很有趣的阅读changhai.org/articles/s(他们为什么反相对论?)

【gyroscope的回答(1票)】:

一个是空间,一个是时空。衡量空间路径长度的是路程(s),衡量时空路径(世界线)长度的是固有时(τ)。固有时就是衡量时间流逝的物理量。

在平直空间中,两点之间直线路程最短;在平直时空(闵氏时空)中,两点之间直线固有时最长。弯曲空间和时空的规律一样,只不过直线换成了测地线。光所遵循的路径是最节省时间的路径,这里的路径是空间的路径,因为光走的路程最短,时间等于路程/光速,所以时间最短。测地线上时间流逝最慢,这里的测地线是时空的路径。所以空间和时空是两回事,不能混为一谈。

至于为什么测地线上时间流逝最慢,也就是为什么测地线的固有时最长?抱歉,这个我也不清楚。

【静光的回答(0票)】:

谢邀。

费马最短时间原理是有问题的。比如说张三和李四在镜子的同一边,张三可以直接看见李四,也可以在镜子上看见李四的像,如果按照最短时间来分析,直线连接(直接看见)的才是最短时间,通过镜子反射(看见镜子中的像)的时间肯定更长,于是,根本不应该看见像。对费马最短时间原理的正确理解,要深入到量子物理,不是单纯的最短时间来理解。

【Abcdef的回答(0票)】:

谢邀

既然谈测底线,就要用广义相对论。你这说的费马原理,却是经典力学的。而且,费马原理,你的理解也有问题(费马原理,准确的说是光程取极值,不一定是最小值),什么费马最短时间原理,为什么我是第一次听说?请记住,一般也就在几何光学的时候,谈谈费马原理(其他地方,都不会谈的)。

另外,相对论中,以经典力学中的观念来讨论问题,就是耍流氓。

相对论中,连同时性都不是绝对的了,我不知道你所说的时间流逝快慢,还有什么意义?

物理不是,搞了几个名词,以字面意思,就可以套的。

考虑问题之前,一定要好好理解物理名词:了解它的准确含义,它的历史背景,前提条件和适应范围等。否则,就是,尽信书,不如无书。

你这样的方式想问题,肯定想不清楚了,甚至会使自己迷惑。不喜勿喷!

谢谢!

【邹益健的回答(0票)】:

谢邀,其实不明白题主的问题。费马原理说的是相比于其他轨迹而言,光线会选择光程最小(严格说是极值)的轨迹。但我从未听说过测地线时间最慢这种说法。如果我们是在经典力学中讨论,那么时间是绝对的,在哪走的都一样快;如果我们在狭义相对论的框架下讨论,光不能做参考系,也没有光子的固有时间的概念;如果我们在广义相对论的框架下讨论,测地线是自由粒子的轨迹,不是很明白对于时空中的不同点谈论时间点快慢的物理意义。

【jimshi的回答(0票)】:

两者不是一回事。费马原理是路径选择的最小原理。而广义相对论的测地线长短的定义不是曲面论的空间长度最短的线(虽然测地线的几何直观定义是傅内雷标架第二个向量平行与曲面法向量,测地线也可能是最长的线,如球面上的优弧),可查看"度规"一词。有的东西不能旁敲侧击猜度,这些书上都有严格定义。至于最短最长,在相对论中,测地线是最长的。直线不是两点的最短连线,而是最长的。至于流逝快慢的定义一般是指局域测量的时间被拉长,就显得慢。谈到双子佯谬,地球的人显得更老,时间对他的生命来说是走得那么慢而显得漫长。

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