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学习量子场论的目的是什么?

【黄深的回答(339票)】:

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牛顿力学

先从牛顿力学讲起,牛顿力学的基本研究对象是粒子,受到力的作用运动

如果我们用拉格朗日力学,我们可以将力的概念变成势能的概念,粒子运动受到的力是根据最小作用量原理对势能取梯度,比如粒子的抛物运动可以等价为粒子在重力场的运动

但是在这里势能(场)的引入似乎只是一个数学变换,将同一个问题用不同的语言描述

电动力学

在电动力学里面,场不再是一个数学变换后的产物,而是研究对象本身,电场和磁场本身就是场。而当我们描述场的运动时,我们描述的是电磁波

量子力学

量子力学在概念上的革命性突破就是波粒二象性,我们以前以为物质是由更小的粒子组成,但我们现在知道物质既有粒子性(波包),也有波动性(物质波)

既然场论既可以描述粒子(拉格朗日力学),又可以描述波动(电动力学),所以对于量子力学而言,量子场论是一个最自然的语言

但是如果我们只考虑单粒子的量子力学,用量子场论有点杀鸡用牛刀,所以我们一般把问题简化为求解薛定谔方程,就像我们解牛顿方程那样

量子场论/统计场论

当我们处理多粒子系统时,求解多体薛定谔方程变成一个不可能的任务,这个时候就得用牛刀了。经典的电磁场,我们可以看做在空间每一点都有一个谐振子在振动,到了量子场,空间每一点也是如此,只是在量子场论里,这个谐振子既可以看成振动(波动),也可以看成粒子

比如量子电动力学里面的光子也是光波(电磁波)

场论最基本的作用是处理相互作用体系

比如固体里有能带理论,其实就是个单粒子理论,引入相互作用后,能带理论的图像会失效,但是场论在相互作用趋于零的时候可以完全重复能带理论

现在比较火的拓扑绝缘体,都是基于拓扑能带理论,但如果引入相互作用,我们必须用拓扑场论,不过如果相互作用比较小,拓扑能带理论还是低能有效的

所以和相互作用有关的多体现象必须用场论来描述,比如相变

场论对我而言就是个低能有效理论,也就是如何对小尺度的物理做“平均”,得到大尺度的物理,与实验测量结果比较

所以所有场论的问题都源于我们取了不恰当的微观平均(粗粒化),比如紫外发散,为了解决这类问题,我们可以慢慢做粗粒化,不要一部到位,而这就是拯救场论的重整化群理论

场论可以容纳更丰富的几何代数拓扑结构

引入规范场(电磁场,杨—米尔斯场),有规范场论

引入共形对称性/超对称,有共形/超对称场论

引入拓扑(Berry phase),有拓扑场论

【王白石的回答(38票)】:

谢邀,不好意思的来给大家严肃活泼的好答案里添个不正经的也没啥逻辑的答案。

参考文献为 arxiv.org/abs/math-ph/0 的头两节。

申明:英文不好,物理也不好,看不懂的地方都是我乱编的。

1.1 理论物理学家的日常

(1) 写下一个拉格朗日密度,它通常是一些场以及它们的微分组成的多项式。比如标量场的

理论。

(2) 形式的写出费曼路径积分。如果能算配分函数,就能算各种散射截面等等实验关心的量。

(3) 开始微扰论。把路径积分按某个“耦合常数”展成形式幂级数。

于是路径积分就变成了一堆画着图唱着歌就能写下来的东西(并没有)。Notes: Thanks to Feynman! 老板开过玩笑说费曼对普通人最大的贡献就是把场论变成了普通人也能做的事情。

(4) 好啦,算完积分,把所有的结果加起来。Notes: 过程里好多前一步辛苦算出来的东西都 cancel 掉了,是该高兴呢还是不高兴呢?

(5) 突然发现结果是发散的,一脸懵逼。

(6) 做某种正规化,引入一个截断。发现正规化的方式五花八门。Notes: “这不是场论的 bug,只是个 feature。” 比如

(7) 这个时候,形式幂级数就变成了

拍拍脑袋灵光一现:让这些参数跑动起来!最后能对牢实验就行!

(8) 做完上面这一步,结果还是发散的,二脸懵逼。

发散的原因不止一个,重整化的方案选取那么多,固定参数的法子那么多,哪一个才是想要的呢?终于意识到:渐近展开才是本质问题,展开时根本没法知道自己是不是在逼近答案。

(9) 骗自己其实刚做完步骤 (7)。(8) 在哪里?根本没有 (8)。就算算展开头几项和实验对一对好了。

(10) 理论实验对得上:哎可以顺手拿个诺奖了!理论实验对不上:跳回 (1)。

然而上面说的还有好些问题。

问题 1:路径积分是无穷维空间上的积分,定义是病态的,数学家不服。

解决:把物理学家计算的那一套当定义吧。

问题 2:如果截断截的乱七八糟,是不是你的积分也会乱七八糟?

解决:问威尔森。Notes: 将场论看作在重整化和截断选取下不变,这样的观点是“重整化群”这个名字的由来。

问题 3:重整化完了也发散到底怎么办?

解决:在幂级数构成的多项式环上处理吧。

1.2 标准模型的发展史 (1897 至 1990 为止)

Notes: 摘这一段,是为了从粒子物理的角度说场论的作用。所以我有意略去了部分实验。formal theory 在期间同样有极大的进展,这是另一个故事了。

1905 爱因斯坦提出光子理论。同年提出的还有狭义相对论,从此我们的时空观被彻底改变了。

1925 量子力学诞生,物理学从此再也不能被人理解了。(沉痛哀悼脸)

1927 量子场论诞生,初期由约当,狄拉克等建立。

1928 狄拉克方程诞生,正电子是第一个由理论预言存在的粒子。

1929 海森堡和泡利发现场论里有好多发散。(沉痛哀悼脸)红外和紫外发散的概念首次提出。然而红紫外都去掉了之后幂级数还是不收敛。

1930 泡利由中子衰变过程预言了中微子。

1934 费米提出了

衰变理论。汤川秀树提出了

介子的强相互作用理论。

1937 质量在 100 MeV 的介子从宇宙射线里飞来了。但问题是它们不和核相互作用!(沉痛哀悼汤川理论)

1947 哦,没关系。原来发现的不是汤川粒子(汤川:……),而是

子。

1948 费曼、施温格、朝永各自独立的搞定了量子电动力学里的发散。而戴森证明了他们都在说一回事儿。

1956 杨-米尔斯理论提出。称之为标准模型建立的根本理论不为过。

1957 李、杨提出了弱相互作用宇称不守恒。

1960 盖尔曼和茨威格预言了三种夸克,指出类似

介子和核散射过程中发现的很多粒子都可以表为更基本的粒子组合。

1968 温伯格、萨拉姆、格拉肖提出电弱理论。注意它与汤川理论的相似性。

1972 特霍夫特证明了规范理论的可重整性。CKM 理论指出 CP 破坏需要引入至少三代基本粒子。

1973 量子色动力学建立。

1974 有魅力的夸克由理论预言并且为实验所验证了。格罗斯、维尔切克、波利策指出夸克禁闭的现象可由强相互作用的渐近自由解释。

1975 夸克不独立,只能看见喷柱。于是人们开始拿两束夸克对着喷期望发现新的基本粒子。

1979 3喷柱事例证明了强相互作用的胶子理论。

1990 发现中微子有质量。超出标准模型物理蓬勃发展。

编不下去了……

(完)

这仅仅是些粒子唯象方面的例子,甚至还不全。还有很多有趣的材料。比如对题主想做的引力方面,前辈们就有一个很好的答案。

挖两个觉得不错的坑,近期尝试在不同场合下推荐,效果不错:

Polyakov 的 gauge fields and strings 是本会讲解很多想法的书。学完统计可以看看第 1 章,做量子引力的话后面的留着慢慢读。

Dirac 的 lectures on quantum mechanics 是本演讲集,讲了好些经典力学、量子力学、量子场论的关系。

然而似乎并没有能力填……

【pkumsy的回答(57票)】:

这是电子反常磁矩理论计算和实验测量的结果的比较,足以让人感动的留下眼泪。。。。。。这是电子反常磁矩理论计算和实验测量的结果的比较,足以让人感动的留下眼泪。。。。。。

至于量子场论有什么用,可能学了才能更好的体会到。建议题主可以先看看A.zee 《quantum field theory in a nutshell》第一章,先爱上这个东西,然后再慢慢体会。

【JunboPeng的回答(28票)】:

1. 所有多粒子系统、或无穷自由度系统的问题,都可以用量子场论来研究。这其中就包括了太多的物理了。LHC中粒子散射、生灭的过程,超导体中电子的配对和凝聚,乃至弦世界面与场的耦合,都是量子场论处理的对象。更重要的是,重整化群理论告诉我们,任何物理理论在低能标下都会以量子场论的形式出现。

2. 量子场论可以用来计算散射振幅(S矩阵元),格林函数等等,可以和各种可测量的物理量联系起来。比如基本粒子散射的散射截面可以和S矩阵元相联系;凝聚态系统对外界微扰的线性响应,可以用久保公式(Kubo formula)与格林函数相联系等等。通过建立Ginzburg-Landau理论(有效场论)和重整化群的方法,我们可以计算物理量在相变临界点附近,对参数的依赖关系(临界指数)。

3. 这就是个非常复杂的问题了。量子场论中运用的方法很多,但从目的角度说,主要计算的还是多点格林函数(关联函数)。量子场论的各类计算和推理,都可以看做是求解格林函数的数值、或发现格林函数的某些性质。从方法上分类,量子场论方法可以分为微扰和非微扰两类。非微扰方法主要包括共形场论和拓扑场论,微扰方法则是对参数(如相互作用强度等)做微扰展开。

从学习者的角度来说,你应该熟悉微积分、复变函数的基本计算,最好了解一些微分几何,有比较扎实的量子力学基础。格里菲斯的量子可能不太够,时间允许的话最好读读樱井,或者类似的高量级别教材。

4. 最大的困难大概就是紫外发散吧。这直接导致了重整化群方法的诞生。时至今日,重整化群的意义已经超越了量子场论本身。

【翔鶴型一番艦様的回答(8票)】:

我是站在高能物理观点下答这个问题的。

这个问题不好答,因为虽然历史上量子场论是为了解决一些问题而提出的,但目前并不是为了解决某一个问题,而是解决高能物理问题的一个基本模式。

(平坦时空)量子场论一般指的是一种将狭义相对论,量子力学,以及场的观念结合起来得到的理论。这种思路的起源,大概可以追溯到狄拉克给他的方程解释负能问题时用的技巧。目前,量子场论的基本思路已经被绝大多数物理学家承认,并且成为了研究以粒子理论和弦理论,引力和宇宙学等方向为主的所谓“高能理论物理”(广义,狭义的高能物理仅指粒子物理)的基本语言。

注意,量子场论,是一门语言。它不是一个具体的理论模型,而是一系列思想方法的集合。

量子场论比量子力学更进一步的地方,在于它使用了“量子场”这个概念代替薛定谔,海森堡等人的量子力学中引入的粒子波函数的概念。量子场具有无穷多自由度,相当于在每一个空间点,都有一个局域波函数。粒子则是这个遍布整个空间的量子场的激发。

我简单说明一下需要无穷自由度的其中一个原因。历史上,推广薛定谔方程到狭义相对论情形,得到的是克莱因高登方程(标量)或者狄拉克方程(旋量)。如果你仍然认为这些方程解的是波函数,就有些不妥。因为这些方程的平面波解里能量可以取负值。这就意味着量子化之后没有稳定真空(真空是能量最低的状态。如果能量取负,那么多粒子态就会导致负能的叠加,从而能量无下界)。好在对于旋量粒子(例如电子),有泡利不相容原理,每个态只能占据一个电子。因此,“所有负能态都被一个粒子占据”的状态就可以被定义为真空,这就是狄拉克对他的方程做的解释,这样的真空被称为狄拉克海。这里面已经蕴含了量子场论的朴素思想,即隐含了无穷多自由度。但是对于标量粒子,没有泡利不相容原理,因此能量无下界。这时候就只能把原本的波函数看成量子场了,这可以完全避免负能问题。

(平坦时空)量子场论能描述粒子之间相互转变的过程。例如两个电子相互作用可能会变成两个mu子,正负电子相互作用可能会湮灭形成光子对。这些都是原本的量子力学描述不了的。因此,量子场论是描述粒子对撞机上对撞实验的理论基础。

目前,基于量子场论的粒子物理标准模型基本上描述了对撞机上的所有实验现象。

如果考虑引力,我们可以研究弯曲时空的量子场论。包容所有相互作用的终极理论,也应该具有量子场论的基本形式。例如现在研究的最多的弦理论,作为量子引力的候选者,也是基本上用量子场论来描述的。(我说基本上,是因为弦论普遍采用另一种等价的量子化的形式,即直接采用目标空间的坐标量子化,用世界叶上的本地量作参数。而直接采用场论思路的弦场理论(string field theory),现在仍在开发中。)

【陈裕祺的回答(36票)】:

量子力学是研究对象F[X],量子场论研究对象F[X1,X2,X3,X4...Xn],

交换代数就是研究多项式:n趋向于∞,就出现了曲线C,研究对象F[X1,X2,X3,X4...Xn]成为曲线上的有理函数域F[C],它等价于单变量t的复系数有理函数域C[t]的一个子域。

量子力学和量子场论是其非交换化类比:算子代数

传统或者是教材途径研究量子场论方法是计算,大量复杂的计算,费曼图。。。这是计算是仅仅通过基本原理组合造成,经过数学抽象可以达到现代途径研究量子场论,这里出现了几何(向量空间,李群,纤维丛,示性类,层论 上同调)

当然量子问题的几何是非交换几何。

量子场论的复杂计算问题:重整和粒子基本模型都可以从非交换几何中得到统一的框架Alan Connes,

Noncommutative Geometry, Quantum Fields and Motives (豆瓣)

(附注:现代数学中几何和代数融合并不严格区分--其思想源头来自克莱因几何纲领)

量子场论的研究思想突变是和经典电磁场几何化作为类比:

在一个坐标系下,我们考虑下面的经典的研究物理量

E电场强度向量,B磁场强度向量,电流密度向量J.

构造了麦克斯韦方程(积分方程和微分方程

参考维基Maxwell's equations

这些量伴随于闵科夫斯基空间上的几何对象

电磁场张量F(E B J 的代数组合)

古典的麦克斯韦方程转化为微分形式表达dF=0,d★F=J,

经典的物理量作为现代物理量电磁场张量F导出概念得出。

这不是场抽象化的游戏,而是应对自然复杂度增大的唯一可靠方法。

古典数学到现代数学的转变:

局部到整体,局部有方程和坐标,而整体没有方程,工具从分析到拓扑和代数。Grothendieck的风格不看方程,直接从整体(嵌入)开始---Heisuke Hironaka

举例:S. SMALE《DIFFERENTIABLE DYNAMICAL SYSTEMS》

研究微分动力系统的整体问题等价于研究李群作用于流形(GxM--M),(常微分方程等价于R实数作用流形,)定性研究常微分方程退化到研究截面(M--GxM)的微分同胚,这也就是庞加莱研究曲面同胚的出发点。微分方程、动力系统与混沌导论 (豆瓣)

到了这里,开始回答题主的问题:

根据自己的需要和导师要求选择教材

当然依据英文教材为主,豆瓣和知乎都应该有一定的书单,

但是如果进一步深造的话,建议从微分几何(建立在李群和纤维丛基础上)出发,物理从单粒子到多粒子,数学从一维到二维以上都进入了几何和代数的范畴----阿蒂亚

附注:感谢大家点赞。其实写的并不好,仅仅写了一些经典或古典物理的数学表达,而没有详细的书写现代物理的基础语言(非交换几何)和明确的关于现代数学对于物理的术语的翻译(关键人witten:扭结理论,莫尔斯理论的调和化,langlands纲领。。。),

但是这个工作量就有点太大。希望点到而止,能激发更多人去理解现代数学对于物理的作用,就达到了这个文章的目的了

【龙猫的回答(12票)】:

题主说只学过量子力学,那现在学量子场论就是对自己基础的检测。

量子场论入门章节中,

狭义相对论不会就看不懂张量计算,

量子统计不会就看不懂作者说什么,

场的分析力学不会的话在开头就一跪不起了,

电动力学不会的话A这个字母就如同火星文,

路径积分不会算就可以把书吃掉了,

二次量子化不懂就会把^看成^_^,

数学练习不够就像是看科普书。

等等大坑由读者来填。

当把坑都填满了,很多式子都会算了以后,物理知识也有一点微小的补充了。

量子场论真的很有用是不是!!

【Syutyuk的回答(1票)】:

量子场论为你打开当代物理学的大门。

【翔鶴型一番艦様的回答(12票)】:

+

你的這幾個問題要說起來比現有的長城還長。

就給一個小問題吧: 你知道宇宙中也許存在 絕對 這件事吧?

比如, 質子和電子的電荷精確一致,這中精確不是測量意義上的精確,而是真的完全一模一樣的精確。

量子場論可以回答這個問題。

不過看你這麼忙,肯定不會在意細節問題的。

人生太忙的話,不宜學場論。

---------------------------------------------

問題描述已經被修改多次,如今已沒有“提問者說自己太忙”的字句。

關於“學習量子場論的目的是什麼” 有不同層面和意義導向的回答,現有幾個高票答案全部值得看一看。2016-05-08

+

【新城的回答(5票)】:

让你明白“不自量力”这个成语的真正含义

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