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固体物理中的倒格子有什么用?

【李贾德的回答(119票)】:

按照教科书的说法,倒格子就是正格子的傅立叶变换,代表动量空间。

然而这种说法显然不是题主想知道的。

那我来举个栗子:

1. 如果现在有一杯水,水在杯子里来回振荡。想描述清楚这一振荡,怎么办?

简单,只要拿个摄像机拍下来即可 --- 这是实空间描述。

2. 如果现在把水杯换成一个浴缸,怎么办?

拿个广角摄像机拍即可 --- 更大的研究体系对研究设备提出更高要求。

3. 如果是太平洋......

我放弃了.....等等,我们换个角度

虽然我们不能实时监控每个浪花的位置,但是鉴于我们研究的太平洋比较奇特,它能绕地球一圈,且浪花在行进的过程中不变。因此我们只要蹲在一个地方观察浪花的速度就行了。浪花跑得快的就绕圈绕的快,跑得慢的就绕圈绕的慢。我们对浪花速度分得越细,就能越精细得分辨出不同尺度水面情况。

好了,原来不可能完成的事情换了个角度解决了,这就是为什么要从实空间观测转到速度空间观测的原因。

专业点,晶体是有无限空间平移对称的体系,所以实空间描述是不可能的。但如果使用倒格子,就可以用无限细分的k网格来描述,这就是为何引进倒格子。

实际应用在哪呢,简单的举个例子,如果我们想算一个晶体是不是导电,

1. 用正格子: 我们需要个一个巨大的体系比如

个,然后写出这个体系的哈密顿量

维,然后算出这个哈密顿量的本征值(喂喂...),然后根据本征值的密度得到能态密度。显然这种方法是开玩笑的

2. 用倒格子:用一个原胞的所有原子,比如两个,然后采样出几十个K点,在每个K点算出对应的H (2x2),然后解本征值(So easy...),然后根据本征值的密度得到能态密度。

显然只有第二种情况是可能的。因此在晶体计算中,倒格子是必须要用到的工具。

对于初学者了解上面的概念就行了,下面对其中不严格的地方略做说明:

1. 实空间的无限大对应倒空间无限密,理论上都需要做截断才能计算。

2. 倒空间采样有专门的方法,也就是所谓K-Sampling,目前几乎唯一的好用的方法是Monkhorst-Pack (PhysRevB.13.5188),至于公认程度看引用.....

3. 倒空间采样远比实空间有效,因此密度不需要很大。在原胞较大时,单Gamma点都是可行的。

4. 实际的计算例子最常见的莫过于DFT,尤其是Plane-Wave DFT如VASP和Quantum Espresso,在这些软件中K采样是必须必要必备的。

【安烁威的回答(10票)】:

这二年,做科普也是不容易啊。。。回答这个的目的主要是为了纠正现有的几个答案。

倒易空间最主要是用来分析晶体结构的,例如XRD或是电子衍射。因为人类没有办法直接看到实空间中原子的排布,所以只能通过倒易空间逆推。倒易空间延续了实空间里晶体的对称性,有兴趣题主可以看看Laue group。通过分析倒易空间,晶体的结构或是原子的配位数都可以得到,这个在非化学计量化合物中已经研究烂了。

倒易空间和所谓的动量空间。题主不要搞混这两个概念,这两个是完全不同的概念,但是很不幸的是这两个概念经常是混合起来用的,导致初学者很容易糊涂。这两个概念之所以容易搞混得益于量子力学将动量和波长联系了起来,由于实空间长度的傅里叶变换之后量纲是长度的倒数,基本上都用k表示,所以就搞混了。

动量空间主要应用于半导体里的能带分析。但是请注意,能带图里的k,并不代表什么实际的动量,它既不是电子的动量,也不是晶格的动量,它的出现只是因为bloch theory中引入的周期性条件所出现的一个常数。然后有趣的是,一般晶体符合空间平移对称性,根据Noether's theorem,这个对称性对应着动量的守恒,所以从某一些方面讲,这个k具有动量的守恒性质,所以人们称它为crystal momentum。 同时注意,这个k真的和倒易空间里的k没有什么关系。只不过是周期性边界条件迫使动量空间的k所取的最大值恰好和倒易空间里第一布里渊区的边界重合而已。望题主细细考量~

【张玮皓的回答(1票)】:

方便处理。好多问题是在动量空间下的。

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