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理论物理学家爱德华·威滕做了啥贡献,以致于他获得了数学界的菲尔兹奖?

【zqblaobo的回答(143票)】:

Witten 在数学物理中的贡献非常多,可以形容为用物理学尖锐的直觉刺破了数学界以“严密逻辑”构成的坚硬外壳,把部分数学家和数学思想从按部就班的、严格的方法论中解放了出来,也让许多物理学家逐渐深入到数学界中,意识到“原来研究物理也能研究到深刻的数学”。更重要的是,他的工作暗示着,a) 物理系统中各种 ill-defined 的对象,比如他总是在用的路径积分,有着 robust 的 well-defined 的内核;b) 超对称量子物理对于养育自己的流形的精细结构是很敏感的,超对称BPS态就像一些平衡态,如一些散落在形状复杂的势能极小点的小球,而量子效应则像从这些经典状态伸展出来覆盖整个流形的触手,通过研究这些触手,就可以得知许多流形的信息。

Witten 比较家喻户晓的数学贡献是:

1)Jones 多项式与量子 Chern-Simons 理论。

2)Donaldson-Witten 理论

3)Seiberg-Witten 理论

4)Gromov-Witten 理论

1)

Chern-Simons 理论(

为其作用量前的整数系数)的配分函数和 Wilson-loops(属

不可约表示)的关联函数可以用路径积分和 Localization 来严格计算。鉴于 Chern-Simons 作用量的拓扑不变性,这个泛函积分也自动具有拓扑不变性,从而奠定了其为 Wilson-loop 定义域(一些链接)的拓扑不变量。最后算完这个路径积分,归一化后变成

的多项式。经查实,与 Jones 多项式刚好一样,这些关于

的多项式是

中的扭结、链结的拓扑不变量。

2)Donaldson 发展弗里德曼对 4 维黎曼流形

拓扑分类的结果,利用

上的瞬子的模空间

上的交截理论来计算

的微分不变量。Witten 决定把 1)的方法推到 4 维。Witten 提出 topological twist 的方法,把“超对称不变量”和“拓扑不变量”联系在一起。通过 localization 计算

twisted 理论的配分函数和 BPS 算符的关联函数,发现这些物理量其实对应瞬子模空间

的交截数,从而用物理方法获得了黎曼流形的 Donaldson 微分不变量。

3)基于 2) 的结果,还有与 Seiberg 一同发展的电磁对偶理论,他们决定考虑研究上面这个理论在低能时候的行为。最后他们得到一个

上的阿贝尔规范场论,其 BPS 位形给出的不是瞬子,而是一组新的非线性微分方程。这组非线性微分方程的解空间同样携带了关于

微分结构的信息,在一定条件下与 Donaldson-Witten 不变量等价。这组微分方程后来称为 Seiberg-Witten 方程,是数学家研究辛几何的重要工具。

4)另一套研究辛几何的工具,Gromov-Witten 不变量,同样是 Witten 的重要贡献之一。方法与上面 2) 类似,研究 2 维黎曼曲面

超对称理论,并定义相应的 topological twist。其中一种 twist 使得理论的 BPS 位形刚好是

到另一个 Kahler 空间的全纯映射(全纯曲线),而相应的配分函数、BPS 关联函数则又是这些全纯曲线的模空间上的交截理论。这些交截理论又是早前辛几何中重要的 Gromov 辛不变量。由这个工作发展出来一个庞大的体系,即 Mirror Symmetry,是拓扑弦学家和代数几何学家和谐共处的平等社会。

Witten 的重要工作还有很多。他的触手延伸到理论物理的各个角落,大多我也不清楚的领域。可以说,他是目前数学物理界的教皇。他获得菲尔兹奖,也是实至名归。

【airoswell的回答(5票)】:

抛个砖吧。

我自认我说不清楚TQFT、Chern-Simons Theory 和 Jones Polynomial 之间的关系。不过还是贴一下前两天看到Michael Freedman的这篇小传:it.sohu.com/20160424/n4

1988年,弗里德曼在哈佛大学出席了一场被其称之为可改变人生的研讨会,研讨会的主题是讨论爱德华·威腾(Edward Witten,现供职于普林斯顿高等研究院)近几年的工作,这位数学家将扭结和链环的拓扑理论与某一物理学领域联系了起来,即现在的所谓拓扑量子场论。弗里德曼当时已经意识到,扭结或链环的“琼斯多项式”计算是一个极其困难的计算问题,但解决这一难题的方案反过来又可以为解决其他很多计算问题提供思路。威腾的研究成果似乎表明,特定物理系统可瞬间完成琼斯多项式的计算。

“我们应该构建一台以威腾所描述的物理学为基础的电脑,它可以用来解决那些极其复杂的问题,我很快便被这样的想法所深深吸引。”他说。

【崔晓敏的回答(17票)】:

我问我老板:"Witten吼不吼啊?"

我老板说:"吼啊“

我又问:”你这样支持Witten,是不是有钦点的意思“

我老板说:”钦点也要按照基本法,我连被Witten钦点的资格都没有,他做的东西我懂,但是我不懂他怎么做出来的。你们这些学生听得风是得雨,总想造个神出来然后膜拜一番,但是Witten就是神。“

”哦“

说正经的,String理论一开始研究就是建立在二维共形场论的基础上的。这个场论和代数几何中的一部分重要分支有直接的联系,甚至可以说开创了代数几何中的一大片领域。而物理学家正好就是开创接触这一领域的第一批人。以前搞物理的如老爱遇到问题抱个数学家大腿就行了。偏偏Witten大神自己一撸袖子全搞定了,多快好省。你说物理学家不能拿数学奖,这是不对的,至少牛逼顿当年也是带动数学发展的对吧。

【黄远的回答(2票)】:

我完全承认他很牛逼做了很多贡献,但是你们也得记得他是Atiyah的好基友。

【金路过的回答(24票)】:

首先先要了解什么是菲尔兹奖。

菲尔兹奖(Fields Medal)是一个在国际数学联盟的国际数学家大会上颁发的奖项。它每四年颁奖一次,颁给二至四名有卓越贡献的年轻数学家。得奖者须在该年元旦前未满四十岁。

颁发这个奖的组织是国际数学联盟简称(IMU),又被翻译为国际数学联合会,是一个国际性的非政府、非盈利性组织。目的是促进国际间的数学交流与合作。

国际数学联盟(IMU)成立于1950年的国际数学家大会,目前共有65个成员国。它的主要任务是:

1.促进数学方面的国际交流;

2.组织召开国际数学家大会,以及两届大会之间各种数学方面的国际性专门会议;

3.颁发奖励,主要是菲尔兹奖。

那么witten到底做了什么获得了菲尔兹奖。

弦理论。他对“超弦理论”作出了很大的贡献,这一理论可能在相对论,量子力学和粒子相互作用之间作出统一的数学处理(这是爱因斯坦大半生追求的梦想),他证明了(在陈-Simons理论的所有情况下),状态空间是二线的。

他对纯数学方面的研究影响深远,例如他使用琼斯多项式(Jones Polynomial)来解释陈-西门斯理论”(Chern-Simons theory)。这项研究对于低维拓扑结构有深远影响,并推导出量子不变量。

弦论是现在最有希望将自然界的基本粒子和四种相互作用统一起来的理论。弦理论虽然属于物理范畴,但是它看上去更像是一种数学游戏,由于科学水平的局限,现阶段对弦理论的检验是十分困难的这也就不奇怪为什么一个物理学家竟然得了数学奖。

威滕被认为是他的世代中最优秀的物理学家,也被认为是世界上最伟大的物理学家之一,也许甚至是爱因斯坦的后继者。

“虽然他肯定是物理学家,不过他对数学的掌握很少数学家能比得上……他一次又一次超越了数学界,以巧妙的物理直觉导出新颖深刻的数学定理……他对现代数学影响巨大……凭着他物理再次成为数学的丰富灵感和直觉源头。”

【用真名的泽泽的回答(1票)】:

吐槽一下......

(干货还是看最上面的优质回答吧

|°з°|撸主觉得威滕的理论太高深,百科搬运贴出来还不如看大V们讲解。)

数学就是研究万物的自然科学,以数学为工具钻研物理达到那么高的水平,那他的数学水平会比物理差多少吗.....再者,这些自然科学都是互相联系密不可分的,两者达到的造诣也相差无几,打个不恰当的比方,就好比教政治的历史会差吗?因为政治就是历史总结而来的经验教训。

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