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仅从导热微分方程看,传热的速度是否是无限大的?

【小谢惠的回答(61票)】:

仅就这个数学表达式本身而言,传热的速度是无限大的。然而我们都知道这个结论违背了相对论——因此,必然存在一种物理机制,使得这个表达式在和相对论矛盾的时候失效。

实际上,导热微分方程也好,Fick定律也好,或者大名鼎鼎的N-S方程也好,这些传递方程都建立在连续性假设的基础上。该假设认为,流体和固体是的所有性质都是连续的,同一相内部不存在间断和突变。这意味着:流体和固体可以无限细分——否则,微分项就会失去数学意义(连续函数才可微~)。

因此,这些方程都是有局限的,只能在操作和观测的空间、时间和能量尺度都远大于分子热运动的空间、时间和能量尺度的情况下使用。

回到题主说的特例,按照导热微分方程,的确“牵一发而动全身”,一个局部微小的温度扰动都会给无限大的全局带来瞬间变化。然而 这个“瞬间”是有条件的——此“瞬间”必须远大于分子通过碰撞传递动量的时间。

比如,一个小分子在常温下的平均速度大约是几百米/秒,那么我们可以估算分子动量传递一分米大约需要不到一毫秒。如果我们要测量常温常压下一个一分米直径的铁盘上的导热过程,观察的时间尺度是远大于一毫秒的,因此完全可以适用导热微分方程。然而,如果你要在京九铁路的北京站提供一个温度扰动然后测量广东那边在一秒之内的变化,导热微分方程的适用条件就被打破了。

归根结底,工程上常用的这些传热、传质和流动方程都是牛顿时代的产物,是服务于宏观尺度和低速度下的经典物理学的。这些牛顿时代的方程很容易弄出一些看似和相对论矛盾的结论,这是古人的局限,要大度一些~

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PS:

在问题下面的评论中少年· @黄健 提出:

"研究人员用激光照射金属化合物的结晶,世界上首次成功对热传导进行了连拍,并据此确认热是以秒速5万千米的类似波的形式进行传导的。"

我赞同啊~~在激光的激发下,传热的确不仅仅是靠分子碰撞了。高能状态下能量反复被电子释放-吸收可能会导致其以高能光子的形式传递,因此其传递速度是完全可能和光速在一个数量级的。

【大力牛的回答(7票)】:

谢邀。

傅里叶定律+守恒定律给出的一维heat equation,格林函数是exp(-x^2/t)/sqrt(t)。物理意义是无限大介质中某处温度突变则距离为x的某处温度也随之变化,对任意有限时间,整个x轴上温度变化均为有限值。一般工科数理方程课上讲“热导方程具有无限传播速度”都是从这个意义上,不存在类似f(x-ct)的行波解。

物理上在傅里叶尺度之下,传导速度基于气体动理论、固体晶格振动等等,当然是有限的。田长霖-Mujumdar/陈刚/Austin Minich这个流派对傅里叶尺度之下的传热问题有系统的研究。

【HangZS的回答(4票)】:

导热微分控制方程是基于傅立叶导热本构方程推导得出的,后者本身是一个基于试验测量的定律,本身不显含时间,默认了导热过程具有无限大的速度,这一描述显然是非物理的,在极端导热条件下会出现失效的情况,即非傅立叶导热现象。

对于热传导方程的解释,特别是考虑导热速度限制的导热过程描述,一直是相对论性导热研究的一个问题,这个问题给出了很多相关的解释:

如何理解热传导方程的解? - 物理学

【Romance的回答(3票)】:

谢谢邀请。

之前已经给其他回答点赞了,但正好今天刚好看教材时看到这一部分,就贴上来。

来自于梁昆淼老师的《数学物理方法 (第四版)》。来自于梁昆淼老师的《数学物理方法 (第四版)》。

【荣俊杰的回答(2票)】:

谢邀,这是个模型近似带来的bug而已。实际上核函数e^-x^2即正态分布函数衰减非常快,稍微远一些的地方已经接近无穷小了。

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