格林函数如何在凝聚态物理的量子场论中起作用?

发布时间:2017/01/05 17:03:36 投稿: 网友投稿

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导读: 【李奕燃的回答(58票)】: 从实验的角度来说 在高能物理里面,我们所做的实验一般是高能粒子碰撞测量散射截面 在凝聚态里面,我以ARPES为例介绍如何用散射实验测量材料性质 ARPES是角分辨光电子能谱,简单来说就是将光子打到材料上,碰撞出电子,我们可以调整...

【李奕燃的回答(58票)】:

从实验的角度来说

在高能物理里面,我们所做的实验一般是高能粒子碰撞测量散射截面

在凝聚态里面,我以ARPES为例介绍如何用散射实验测量材料性质

ARPES是角分辨光电子能谱,简单来说就是将光子打到材料上,碰撞出电子,我们可以调整入射光子的能量和动量,也可以测量不同角度的电子,对应着不同的动量和能量(也即角分辨)

其实这就是光电效应

根据能动量守恒关系,我们可以得到出射电子的动量和能量随不同角度的分布

但是凝聚态很关键的一点是背景依赖(也即系统所处的平衡态基态),由于电子处在材料中而不是真空中,所以电子在出射前会在材料里“跑”一会,所以出射的电子包含着材料中的(基态和激发态)信息。材料处于不同的态或者说电子处在不同的背景下,得到的光电子能谱是不一样的。比如超导态、铁磁态、金属态。

这一类实验测量手段我们可以理解为粒子散射实验测量,类似的还有中子散射、正电子散射、缪子(这种实验思路和高能实验十分相似,反正就是把各种粒子打到材料里,根据出射粒子分析材料性质)

然后我讲一下散射实验如何和格林函数联系起来,关键的一点就是粒子在出射前在材料里“跑”了一会

根据推迟格林函数的定义

G(t,t')=psi|T C(t’)C+(t)|psi

其中|psi为系统所处的态,如果是零温就是基态,如果是有限温度,则包括所有激发态

T表示编时算符,也就是把时间靠前的算符放到左边

C(t‘)是t‘时刻的湮灭算符

C+(t)是t时刻的产生算符

我们这边考虑电子,体系本来处在|psi态,然后在t时刻产生了一个电子,原因就是我们射入了一个光子(一股能量来激发电子),然后电子能量高到在t‘可以跑到材料外面,也即电子湮灭,所以格林函数很自然描述了粒子的散射过程

我们注意到一般电子不会立即跑到材料外面,也即t't,如果我们考虑因果律,这是一个很合理的过程,因为我们一般要先扰动系统,然后系统才会有响应(一般我们可以定义推迟格林函数,实验上测量的就是推迟格林函数,与之对应的成为超前格林函数,但是在我们生活的宏观世界时间反演对称性破缺,我们活在一个满足因果律的世界里,所以一般只需要计算推迟格林函数)

正式因为t'-t这段在电子出射前材料里跑的时间,电子会携带着材料体内的信息,也即关于|psi的信息,根据出射电子的能动量,我们可以反推体系所处的态,获得材料的性质

其实上述的散射实验可以放入一个更大的框架,线性响应理论

我们刚才讨论的是粒子的散射实验,而且一般考虑体系处于平衡态,测量体系对粒子的响应

我们接下来考虑输运测量实验,这时候我们一般加外场,电场、磁场等

这时候体系不再处于平衡态,但是如果我们考虑外场比较小,体系处于稳态,我们可以用相同的方式来理解,测量体系对场的响应

场会和材料里的自由度耦合,比如电子有电荷,会和电场耦合,电子有自旋,会和磁场耦合,我们对体系加外场,体系会有响应。根据不同的响应可以反推体系所处的态。比如体系处在超导态,对于磁场的响应是完全抗磁的迈斯纳效应。

所以格林函数其实就是响应函数(在定义上略有不同),可以直接和实验测量量相联系。

比如格林函数的虚部就是ARPES测量的谱函数。

不过我们之前考虑的G(t,t')=psi|T C(t’)C+(t)|psi是单粒子格林函数,描述的是单粒子的产生和湮灭,我们也可以考虑多粒子的产生和湮灭。相互作用会改变无相互作用的单粒子图像,使之变成一个多体问题。比如超导的基本单元是库伯对,考虑最简单的BCS超导,库伯对是由一对时间反演相互联系的电子配对形成的。在实验上我们有约瑟夫森遂穿实验。

线性响应理论一般考虑的微小扰动,所以我们可以用微扰论计算线性的响应,高阶的响应可以忽略(也可以一阶一阶计算,从精细结构变成超精细结构)

下面我想说一个更大的框架,就是统计里面的涨落耗散定理

简单来说涨落耗散定理告诉我们体系的涨落程度和体系的耗散程度成正比

首先我们来看体系的涨落,我们定义如下关联函数

(Si-Si)(Sj-Sj)

其中Si表示自旋Si的平均值,Si-Si表示自旋在i点的涨落

…表示对所有态求平均

所以关联函数描述了空间上i点和j点的涨落的关联程度

根据涨落耗散定理,关联函数正比于体系的磁化率,磁化率描述的是体系对磁场的响应

我们在实验上测量,需要体系对外界扰动做出响应,也即需要体系把自己的信息耗散到外界环境中,而这种耗散的能力和体系自身的涨落能力正相关,反应体系涨落能力的就是关联函数

而格林函数其实就是关联函数

如果说实验可测量量是物理,那么理论上真正可以和实验直接联系的不是哈密顿量或拉格朗日量 ,而是关联函数。

从理论的角度来说

理论上来说,我们求解体系的哈密顿量,我们就彻底解决了体系的动力学问题

在量子力学里面,哈密顿量就是一个矩阵,所谓的求解其实就是矩阵的对角化,也就是找一组本征基矢

而格林函数其实就是哈密顿量这个矩阵的逆矩阵,所以通过求逆,我们也解决了哈密顿量对应的物理问题。

一般在动量能谱表象下,格林函数可写为

G(w,k)=1/(w-E(k))

哈密顿量表示体系的能量E,E(k)是体系的色散关系,通过求解格林函数的奇点,我们可以得到体系的能谱,也就是哈密顿量对角化后的本征能量

上述的格林函数是基于无相互作用的体系,也即单粒子图像。

相互作用会修改单粒子图像,使得原本的单粒子态不再是本征态,对于这样一个多体问题,我们需要统计力学的知识。

在统计力学里面,最根本的量是配分函数,其实配分函数就是哈密顿量的拉普拉斯变换,变换的权重就是(巨)正则系统的玻尔兹曼分布。

所以对于相互作用的多体问题,我们的目标由对角化哈密顿量变成计算配分函数。

如果相互作用比较弱,我们可以用微扰论求解,也就是对相互作用项进行微扰展开,一阶一阶求解。

在路径积分表象下,这种展开称之为渐进展开,随之而来的就是费曼图。

渐进展开的基础就是前述的单粒子格林函数,在费曼图里面用一条线表示。

由于相互作用,不同线之间会交叉,称之为顶点。

所以从图论的角度来看,费米图就是由不同的线和点构成的图,而这些图和配分函数的渐进展开项有一一对应的关系。

我们这样又把一个计算配分函数的积分问题转化成画圈圈的图论问题。

如果我们只考虑单粒子格林函数,我们考察一个粒子在体系里的过程(由于粒子具有全同性,考虑一个粒子等价于考虑所有粒子)。

当粒子不发生散射(相互作用),这个粒子以一条线(传播子)的状态存在,当粒子发生散射时,这个粒子与其他粒子交汇,产生一个顶点。我们只有把所有可能点与线的组合方式全部排列出来,就得到了严格的格林函数,这样问题就变成了一个组合图论的问题。

但是一般严格求解是不可能的任务,一般图的数目随着阶数越高呈指数增长,所以一般教材里只算到两阶。

但是硬算不是聪明人之举,或者说聪明人能算到无穷阶,这个聪明人就是Dyson。

根据费曼图的一般知识,Dyson提出来Dyson方程,使得我们可以计算无穷阶图。但是Dyson方程是个自洽积分方程,我们仍就无法严格求解(不可解的问题怎么变换都是不可解),不过利用我们之前得到的两阶微扰论的结论,我们可以把部分图进行无穷阶求和,在微扰论适用的情况下,QED成了迄今为止最精确的理论。

我们也可以计算双粒子格林函数,对应的方程叫做Bethe-Slater方程。

这时候再回到方才我们要计算的配分函数,有了格林函数,我们以此为积木,一阶一阶地搭上去,最终可以得到配分函数的渐进展开表达式,至于计算的精度依赖于相互作用的强度和展开的阶数。

一般来说

如果你考虑狭义相对论,那么上述框架下你得到高能里面的量子场论

如果你考虑非相对论情况,那么上述框架下你得到凝聚态里面的统计场论

不过我觉得凝聚态场论与高能场论最根本的区别不是相对论,因为在1+1D的共形场论里面,我们在凝聚态里面也可以得到1+1D的相对论协变性,只是光速变成了费米速度

我觉得凝聚态与高能不同的在于,高能一般考虑空间连续场论,而凝聚态考虑空间有周期性的离散场论

其实高能的场论相当于一个晶格常数无穷小的场论,相当于晶格常数a趋向于0的极限,对应着动量空间k的上限由pi/a变为无穷大,对应的能量一般也趋向于很大(高能),所以高能饱受各种无穷大发散的困扰

不过高能里有格点规范场论,为了解决强相互作用

而凝聚态场论天生就是一个格点场论

不过在临界点,由于体系的关联长度无穷大,相应的晶格结构作为细节被磨平,这时候我们发现描述临界点附近的场论和高能里的连续场论有着几乎相同的形式。

唯一的区别就是Wick转动。在高能里,由于相对论,时间和空间等价,都是场的参数。在凝聚态里,温度扮演了时间的角色,用松原格林函数,逆温就是虚时。

如果说哈密顿量包含着体系所有的动力学性质(在路径积分表象下,还有Berry phase包含着体系的几何/拓扑性质),那么格林函数,配分函数都只是哈密顿量对角化后的能谱信息的另一种表达方式

格林函数存储着能谱逆的信息

配分函数存储着能谱拉普拉斯变换的信息

PS:过年宅在家,手边没有书可以参考,上述回答仅凭记忆,如有纰漏与谬误,还请指正。

【郑慧君的回答(9票)】:

谢邀。

推荐参看Condensed Matter Field Theory by Ben Simons,从第一章到第六章。

或者文小刚《量子多体物理》。

你会发现它们讲场论比大部分粒子物理场论书都要好,场论绝不仅仅是算散射振幅这么简单。

【Legendre的回答(55票)】:

粗略说来, 凝聚态的实验手段无非以下几种:

  • 测热力学系数, 比如热容
  • 输运测量, 比如测霍尔电导
  • 谱学测量, 比如 ARPES
除了测热力学系数的实验以外, 其余几种实验都是在系统的时空某处施加一个微小的扰动

, 然后看扰动随时间如何演化. 在线性响应的近似下, 有

所以凝聚态场论中不算散射振幅, 而是算响应函数

. 统计力学的知识告诉我们这些响应函数基本上都是热力学势的二阶导数, 而我们知道 d 维的量子场论等价于 d+1 维的经典场论, 所以可以证明这些响应函数最终在场论的框架下, 就化作格林函数/关联函数:

你可以说这和高能场论中的散射问题没有本质区别, 但凝聚态场论中没有 S 矩阵和 LSZ 约化公式(所以在凝聚态场论中大家作重整化的时候都比较随意, 场强重整化经常不做...), 我们最常计算的也不是编时格林函数. 如上所说, 凝聚态场论中的响应函数有明确的物理意义: 响应必须满足因果律, 因此我们最常计算的是推迟格林函数. 从技术上说, 这比高能场论更为繁琐, 因为路径积分只能给出编时格林函数. 我们通常作 Matsubara 求和, 计算虚时格林函数, 然后再做解析延拓才能得到推迟格林函数.

除了直接计算响应以外, 类似高能物理找格林函数的极点, 我们在凝聚态场论中也经常研究格林函数的解析性质, 从中了解系统中的单粒子激发的情况. 这和 Lehmann 的谱分解没有区别. 我们也在凝聚态场论中计算有效作用量, 做重整化群的计算, 从中了解系统的临界行为. 不过除了 Lorentz 协变性以外, 这和高能场论已经没有区别.

事实上, 凝聚态系统中用到的格林函数可能更多. 在非平衡态场论中, 我们还经常计算 Keldysh 格林函数: 它能保证算符的作用顺序随着时间总是固定不变的, 因此能直接对应到真实的物理过程. 只不过在技术上 Keldysh 格林函数更为复杂, 在远离平衡态的时候求解 Keldysh 格林函数和求解 Boltzmann 方程基本上没有区别.

如果题主想要更深入地了解, 这里提供一个入门的参考资料: Altland Simons, Condensed Matter Field Theory, Chapter 7.

【陈一飞的回答(2票)】:

谢邀.

我觉得基本有场论的地方就有格林函数....有场论却偏偏不用格林函数是个很别扭的事(即使是经典电动不用格林函数不也很难么, 哪怕是非散射问题). 另一方面如果你能计算一个统计系统的所有格林函数,你基本就掌握了这个系统的所有信息.

例子可以举出无数个,譬如凝聚态系统的基态能的修正计算可用vacuum buble; 又譬如散射问题也是常有的;又譬如寻找多体系统的有效激发和粒子物理里找格林函数极点基本上是一样的, etc etc.

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