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数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答?

【Ferax的回答(51票)】:

1、层的语言

最初神创造了向量丛。

一个流形上每个点长了一个向量空间,再配上局部平凡的条件,这是一个十分自然的概念。

每个流形都有切丛,和切丛上各种连续函子的像,Grassmannian上有典范丛等等。

然而向量丛不是个好东西,从范畴论的角度来看,向量丛的映射没有核,所以不构成Abel范畴,不能很好地做上同调。

于是上个世纪四五十年代的时候,天上掉下来Leray,小Cartan,Serre几个智商逆天的家伙,世界上从此有了层和凝聚层的概念。

大致来说,层论的想法是把向量丛看作是它的局部截面芽的空间,也就是说,流形上每个点长着一根茎,它由局部截面空间商出来,两个在考虑的点的一个邻域里相等的截面被看做是等同的。

表面上看这没有引入什么新的东西,但这个概念可以很轻松地推广成所谓的预层,所谓预层就是在流形的每个开集上结合一个Abel群,并且满足在限制映射下表现正常。但预层在一定意义上,只是一个局部的概念,更有用的是加上局部截面和整体截面关系之后得到的层的概念。可以证明层的范畴是一个Abel范畴,所以可以做同调。

-------------------------------------无耻的分割线------------------------------------

现在我先假定你们都知道什么是局部戴环空间和凝聚层。

于是一堆古典的复代数几何的东西都可以用层的语言讲了。

比如奇异上同调就是常数层的上同调。

比如古典的

上的典则线丛就变成了Serre扭曲层的对偶

比如线性系统,就变成了一个可逆层的截面空间的子空间。

比如说Picard群,就相当于

,除子群就是

,于是除子对应线丛的古典构造就变成了下面的正合列诱导的连接同态

.

类似的,线丛的陈类就变成了指数序列

诱导的连接同态.

古典的de Rham定理和Dolbeault-Serre定理变成了Poincare引理的简单推论。

而Kahler流形上的Kodaira消失定理,Stein流形上的Cartan定理B这些结果直接蕴含了一些上同调障碍的消失,所以很多相关的问题都变得几乎是显然的了。比如说Kodaira嵌入定理。

当然,最重要的一点事,有了层我们才能谈什么是概型,这才是现代代数几何的基础。码不动了,你们自己看GTM52去。

--------------------------------------剩下的明天再码----------------------------------------------------

2.Friedrichs Molifier

3.Sobolev空间

【溪南的回答(63票)】:

“大大化简困难问题的证明”

第一反应是Gelfand的commutative Banach algebra理论。

Wiener(就是那位《昔日神童》的作者)有一项重要贡献:他1932年证明的Tauberian型定理(可以用到素数定理的证明中),改进了之前Hardy和Littlewood的结果,其中的关键一步后来被称为Wiener's lemma,即著名的非零绝对收敛傅里叶级数的反转定理:

If f has absolutely convergent Fourier series and is never zero, then its inverse 1/f also has an absolutely convergent Fourier series.

这个定理相当惊人,因为一般来说函数的傅里叶级数和它的倒数的傅里叶级数的关系是很不明显的。

Wiener的原始证明比较繁琐,有兴趣的同学可以去看看原文(N.Wiener

《Tauberian theorems》)或者《The Fourier integral and the certain of its applications》

1939年,26岁的Gelfand发表了短短二十页的著名论文《On normed rings》,奠定了commutative Banach algebra理论的基础。之前泛函分析中算子的环结构早就被注意到了,但正是Gelfand通过他发展的定理第一个指出了其重要性。

作为副产品(也是Gelfand理论的第一个辉煌应用),可以给出Wiener's lemma的一个毫不费力的证明:

A(T)在典则范数下是Banach代数,Gelfand变换h作用在f上有形式h(f)=f(e∧ia)≠0(由条件),故f不属于任何复同态的核,在A(T)中必可逆。

做得简直摧枯拉朽……

其实题目什么的都是浮云啦,关键是,可以从中窥得一些Gelfand深刻的洞察力和卓越的技巧。

【南海的回答(9票)】:

谱序列。

【溪南的回答(62票)】:

我首先想到的是等距嵌入.

等距嵌入问题是Riemann几何中一个比较基础(却并不容易) 的结构性问题: 能不能将Riemann流形等距嵌入到欧氏空间里去? 换句话说, 能不能将一个抽象的Riemann流形实现为平坦空间中的一个具体的曲面? 这个问题刻画的是抽象的Riemann流形同具体的曲面之间的关联. Whitney有一个基本的嵌入定理: 任何

维光滑流形都可以光滑嵌入到

维的欧氏空间中. 然而Whitney嵌入定理完全无法保证嵌入是等距的.

第一个给出一般性结论的是John Nash. 他对这个问题给出了肯定的解答: 任何光滑的

维Riemann流形都可以等距嵌入到某个欧氏空间中(维数只与

有关系), 而且嵌入映射的可微性可以任意高(但依旧不能要求为光滑的). 但他使用的方法之繁琐, 令人望而生畏.

---------------------------------------------------分割线---------------------------------------------------

很容易通过一些简单的技巧将原来的问题化归成了一个微扰问题. 假设

是一个

维的光滑紧流形(为了简单起见只讨论紧流形),

到某个欧氏空间中的光滑嵌入映射,

代表

诱导的Riemann度量. 于是对任何一个

上的Riemann度量

, 要证明方程

存在解. 通过Whitney嵌入定理, 容易把

光滑嵌入到环面里去, 而再通过简单的延拓技巧即可将定理归结为

是环面的情形. 这么做是为了赋予流形一个整体的坐标.

于是问题归结为: 设

是环面

上的Riemann度量. 寻找光滑嵌入

, 使得

. 这里目标空间的维数

只与

有关.

代表欧氏空间的标准内积. 设

上的标准坐标, 则方程可以写为

Nash首先发现, 所有可以写成

形式的光滑度量在全体光滑度量所成的空间(Frechet空间拓扑)里稠密. 从而需要求解的方程形如

,

这里

离目标

很近, 而

是任意的"很小"的对称二阶张量. 进一步, 可以这样选取

, 使得

是嵌入, 而且还满足:

对任何一点

, 向量组

都是线性无关的.

---------------------------------------------------分割线---------------------------------------------------

思路进行到这里还都是初等微积分. 但归结为方程

之后, 问题一下子变得极为棘手. 这种方程本来似乎可以通过传统的Newton迭代方法加以解决, 然而计算了Newton方法所需要的导数

之后, 却发现Newton方法完全不可行, 因为导数

来讲是个一阶微分算子, 从而就丢失了关于

的光滑性的信息. 要是这么迭代下去 方程本身又是泛定的(随便找到一个解之后, 复合上一个欧氏运动依旧是方程的解, 所以如果方程存在解, 那么解一定非常非常多), 所以不能找到

的"逆算子".

所以Nash使用了一种非常复杂的迭代技巧, 这种技巧后来被Moser, Hormander等等一系列分析学家整理出来, 得到了"Nash-Moser技巧"或者"Nash-Moser隐函数定理"的美誉. 大体来说, 它是Newton迭代的一种修正, 每次迭代之后使用一个磨光算子把迭代的结果磨光一下, 然后再进行下一次迭代. 这个方程本身的"驯顺的"(tame)结构, 使得光滑性的信息丢失可以在一定程度上补回来.

Nash的工作是在六十年代做的, 他的论文原文有五十多页. 现在即便做出大量的简化, 这种Nash-Moser迭代技巧依旧是非常繁琐的. 所有详细论述这个技巧的文献都长得十分可怕. 稍早些的文献喜欢把它放在一族Banach空间的框架下来讨论, 并且管它叫hard implicit function theorem (套用一下卢昌海的措辞, 可以戏谑地翻译成豪华版隐函数定理).

---------------------------------------------------分割线---------------------------------------------------

然而在八十年代末, Guther却发现了一种解上面方程的技巧, 它较之Nash的做法要简单得多.

Guther的证明如下:

, 则方程重写为

.

用算子

作用, 得到(

是常系数二次齐次多项式):

从而只要解

就够了. 根据假定,

是自由嵌入, 从而可写

.

在Holder连续函数空间

(

而且不是整数)中, 当

的模很小时, 上述映射是个压缩映射, 因为右边是"二次的". 这样根据压缩映射原理, 上面方程有解.

Guther的论文写得相当啰嗦, 但却也只有九页纸. 上面简短的论证已经将Guther证明的核心内容完全讲清楚了. 如果用比较简洁的现代记号重写一遍的话, 两页纸不到就能完全说清这个证明.

——注意, Riemann流形的等距嵌入可是个著名的难题!

【常发及腰凯申公的回答(8票)】:

ag.algebraic geometry 第一个回答

个人觉得Riemann-Roch定理应该也算,把

理解成欧拉数以后就顺理成章了

【徐子明的回答(117票)】:

说个简单的:对数。

【布鸿的回答(9票)】:

伽罗瓦理论

【逆熵而行的回答(9票)】:

Lagrange 方程 Hamilton 方程;

场;

张量;

Dirac 记号(以及代数进入物理学)。

【刘韩的回答(22票)】:

Einstein求和约定

【est的回答(6票)】:

Feynman图,当然到现在Feynman图也已经不仅仅是技巧了

【郑海洋的回答(7票)】:

上世纪六十年代提出状态空间理论,把经典控制理论推向了现代控制理论,简化了对微分方程解的研究

【Lilypad的回答(46票)】:

没人提矩阵么?

没有矩阵乘法的话,许多学科里用到的无数数学公式连写都很难写下来。最简单的例子,多元向量值函数的链式法则,不写成矩阵乘法这玩意又难写又难背,而写成矩阵乘法以后一眼就能看出来跟一元的形式是一样的。多元微积分里类似的例子多的很,尤其是场论里面,不用矩阵乘法的话,那些公式写出来了也没人知道这是在干啥。

然而矩阵这么神的一个东西,目前已经很少有线性代数的书会提到其起源了。我没考证过,欢迎懂的人继续科普。

【王大海的回答(135票)】:

1 日心说。

2 位值制记数法。

【段一的回答(20票)】:

解析几何

微积分的牛顿莱布尼兹公式

泰勒公式

傅里叶分析

群论

……

感觉整个数学都可以算,不过印象深刻的是上面几个。

【三江方土的回答(37票)】:

没有人提笛卡尔坐标系吗?它把数目和图形联系起来. 这是极其伟大的创造. 这个可能是人类知识里为数不多的纯思维的结果.

在我们的教材中, 它被一带而过, 因为这东西太简单了. 笛卡尔成了一个数学工具的代名词, 几乎没有中学数学老师会讲到, 这是一个多么伟大的哲学家.

【陶司李的回答(3票)】:

学习电力电子技术和计算机一会,发现计算机只能做加减法,和乘法。

学了一个什么公式以后,发现很多计算方式都能转换成加法和乘法

【domineedominee的回答(2票)】:

分形学。

即便是我们现在的计算机3D游戏画面,要是一笔一笔写实去绘制背景,也会成为庞大到不可能完成的任务。有了分形学,可以用简单多边形生成复杂的环境背景。

又如手机天线,如果没有分形学的应用,手机上就要顶出一个大犄角。有了分形学,天线微缩成很小的一块,完全内嵌在你的手机里。

【南宫残菊的回答(5票)】:

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