未必孤独网 > 粒子的自旋数是怎么得出来的,为什么有些是1/2,有些是1,2?可以用对称性求出来吗?

粒子的自旋数是怎么得出来的,为什么有些是1/2,有些是1,2?可以用对称性求出来吗?

【威廉的回答(39票)】:

谢邀

在场论中,认为场是更基本的物理量,而粒子是场的激发态。所以知道了场的性质,在此基础上进行正则量子化就可以得到粒子的性质。这里我们针对于场来说明自旋这个概念是怎么出现的。

所谓自旋是内禀属性,或者说自旋是时空的性质这种说法本身是对的,但是对于应用是没有什么意义的。

区分不同类型的场的关键依据是看场在洛伦兹变换下如何变化,比如标量场

, 矢量场

等。场是依据于洛伦兹群的表示进行变化的,我们看有多少种类型的场,则只需要找出可以存在多少不同的洛伦兹群的表示就行。

首先我们知道,洛伦兹群是一个矩阵,所以它本身就构成自身的一个表示,依据这种表示的场是矢量场。依据生成元的形式,我们还可以写成

,

本身构成一个洛伦兹李代数,或者叫做无穷小生成元,这个是很容易通过无穷小转动和无穷小boost求得的。(

只是普通的六个数。)

但是除了这个表示,物理学家们还找出了另外一种表示,它的无穷小生成元也满足洛伦兹李代数,无穷小生成元有如下形式

, 不难根据

矩阵的性质推的

也满足洛伦兹代数,并且是和

不同的。可以依据此构造表示

. 依据这种变换关系的场

叫做旋量场。

我们说自旋是一种角动量的意思是,角动量是和空间旋转不变性相对应的守恒流。

因为场在洛伦兹变换下也发生了变化,而不仅仅是坐标发生变化(对应标量场),所以无穷小形式的场的变化也要多出一项,所以在洛伦兹变换之后,根据诺特尔定理推守恒量那一套,这时相应的守恒量就可以变成

。相比于标量场,后面的那一项就是表示的自旋。

这是场出现的自旋角动量密度,之所以说它是内禀的性质,是因为这一项完全是由于场的变换性质而来的而不依赖于时空坐标的变换。就像global对称性,也就是说是描述场的变换而不是背景时空的变换。

如果对场进行量子化自然的给出自旋为1/2的粒子。

这一套在场论里已经被广泛接受,是最基础的问题。关于细节,这里介绍的可能不够,题主需要看场论书补一下完全搞懂。

【夏彦韬的回答(9票)】:

实验上来说,主要看有几个自旋态。比如有人提到的Stern-Gerlach实验。

理论上来说,粒子自旋是从Lorentz群的表示中自然涌现出来的。所有不改变粒子动量的Lorentz变换操作,构成Lorentz群的小群(little group),它的不同表示对应了粒子的不同自旋。

对于有质量粒子来说,小群是

,于是有各种表示和覆盖表示。对于无质量粒子来说,小群是

,于是有螺度。

这就是所谓的Wigner classification。这种分类方法好在不用对粒子的“本质”做出假设,只要存在洛伦兹不变性,就可以用这种方法来定义粒子。

【蒋旸阳的回答(7票)】:

不请自来,因为看到熟人了;以及......我曾经也为这个问题困扰很久......

不知道我曾经的问题是不是与答主一样,很早我就知道自旋这个东西是和群表示有关系的,但是仍然看不出来1/2这个数字是从哪里来的。其实这个问题非常简单,非常非常简单。以下具体的数学来源可以简要参考Birrell&Davis(1982)

自旋的主要来源是O(1,3)群的群表示。可以证明O(1,3)群有一个二对一的泛覆盖群SU(2)

SU(2),前后两个群的群元互相之间对易,而自身形成类似于角动量的对易关系,于是我们就叫它角动量了。

具体一点说(开始上数学了),我们现在有平动生成元

和转动生成元

,它们可以共同构成O(1,3)的生成元,然后定义

然后我们发现

的本征值有pattern

其中

是一个半整数。然后我们就用

的本征值来label这些表示,就像

,其中

的本征值,

的本征值。

下面重点来了

如果表示是

,也即这个表示空间里面的元素在任何O(1,3)作用下均不变,则它是标量。那么它的自旋是多少呢?我们就要做一个简单的加法,把括号里的两个数字加起来得到0,于是它的自旋是0

如果表示是

或者

或者

,则它是旋量。同样的方法,我们把括号里的加起来发现得到1/2,于是它的自旋是1/2

如果表示是

,则它是矢量。同样的方法,我们把括号里的加起来发现得到1,于是自旋是1

你可以想象当我得知原来自旋的计算方法就是加法的时候,我的表情。。。

当然实际情况并不是这么简单,自旋这个数字还可以反映在很多其它方面,就不细讲了。我的回答向来没有人赞,要是过了50,我就接着写一些关于“为什么自旋为1/2的旋量是要转两圈才可以复原”这个在霍金的书里出现过的神奇结论。

【爱课本的回答(9票)】:

不请自来。

为了避免一些人产生“自旋只是物理学家们故弄玄虚整出来的东西”这种错误的印象,我想我有必要介绍一个关于自旋的实验。

粒子因为自旋会产生很多影响,比方说粒子会有一个自旋角动量,又比如一些粒子会因为自旋而产生磁矩。但粒子自旋为1/2还有一层意思:一个粒子要转两圈才能恢复到原来的状态,反映到波函数上,粒子转一圈之后,波函数的相位会与原来的正好相反,只有转两圈波函数才能彻底恢复原状。

直接测量波函数的相位当然不可能,但是我们可以测量相位差,如果人们能够操纵粒子,让自旋为1/2的粒子分别转一圈和分别转两圈,再让它们和原来的波函数叠加,会发生什么现象?

就像托马斯·杨的双峰干涉实验一样,相位差不同的两束波叠加在一起会发生干涉现象。这样的话,通过干涉条纹的分布,我们就可以计算出相位差,也就可以证明粒子自旋确实是1/2了。

那么剩下的唯一问题就是:如何操纵粒子转圈?这不是什么难事儿,前面已经说过了,粒子有磁矩,通过加上一个磁场让粒子转圈并不困难。

这个实验,叫做“中子干涉”实验,实验的结果与量子力学的预测完全一致:中子转一圈之后,波函数的相位与原来完全相反,两束波叠加在一起会互相抵消;只有让中子转两圈之后,波函数的相位才会恢复原状,两束波叠加在一切会大大增强。这就证明了中子的自旋,确确实实是1/2。

【鸟雀呼晴的回答(1票)】:

已有的两个回答答非所问,这个问题涉及到3+1维时空洛伦兹群的表示和3+1维时空的拓扑结构。

有时间再填坑

【地铁风的回答(1票)】:

你可以wikipedia Stern-Gerlach experiment,通过测磁矩测电子自旋

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