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为什么纤维丛理论如此重要?

【田仲政的回答(41票)】:

为什么纤维丛理论如此重要?

因为这个概念及其性质广泛出现在物理中。为什么会广泛呢?因为这个概念十分简单基础,粗略就是有个空间(底),以及其上每一点都承载着另一个集合(纤维)。这决定了日常生活、理论物理中许多对象均可找到纤维丛的对应物。

比如一个普通实函数,可以看成一个实线丛的截面,一个复标量场,可以看成复线丛截面。一个旋量,看成旋量丛的截面等。“纤维丛”就像“映射”一样是个万金油,往哪套都行。

所以说纤维丛的“应用”太多了,其实已经不应该称为“应用”了。这个概念根深蒂固地嵌入到了现代理论物理之中,就像集合、矩阵、矢量一样,是数学物理的语言的一个音节。

我的问题是,除了作为描述规范对称性的数学结构之外,纤维丛是否还有在其它方面的应用?

纤维丛有无数物理应用,但是大部分都以规范场论作为最底层的载体。一个物理问题不夹杂任何规范理论其中的话,大概可以不提纤维丛这么花哨的名字。

即使接受“局限于杨米尔斯规范场论与各类物质的耦合”这个设定,应用仍然十分宽广。尤其是:弯曲空间上的规范场论,以及要求在无穷远处场强为零的

上的规范场论。下面列举常见的“应用”(A类为不涉及超对称,B类为涉及超对称):

A1)狄拉克磁单极子------看似 R^3 实质 S^2 上的 U(1) 主丛/复线丛的陈数;

A2)规范场取整体规范的可行性问题,Gribov 问题 ------

主丛

(规范变换群 -- 全体规范场 -- 规范模空间)的平凡性判定;

A3)瞬子与涡旋:

- 瞬子数------ R^4 上 U(N) 主丛的拓扑数

- 瞬子的模空间(全体瞬子构成的空间维度------R^4 上 狄拉克算符的指标

- 涡旋数 ------ C 上复线丛的拓扑数

- 涡旋解 ------ C 上复线从的全纯截面;

A4)量子反常:

- Fujikawa 方法 ------ S^4 狄拉克算符的指标以及瞬子数

- 规范反常(受规范场影响的费米子有效作用量的规范不变性判定)------ 规范模空间

上 Cech 上同调判定;

B1)弯曲空间上是否可以定义超对称 ------ 某类旋量微分方程组是否有解 ------ 弯曲空间上Hermitian 结构和横向全纯结构的存在性

B2)1+1 维超对称 Sigma 模型的指标

与目标流形的欧拉示性数(即其切丛的欧拉示性数)

B3)(Donaldson-Witten理论)4 维弯曲空间

上的一类 N=2 超对称规范场论的各种关联函数 ------ (定义在

上的瞬子的)模空间上同调 ------

的微分同胚不变量;

B4)(Seiberg-Witten理论)4 维弯曲空间

上的一类 N=2 超对称理论的最小作用量位形 ------

一族非常特殊的旋量解构成的模空间 ------

的微分同胚不变量;

以上提到弯曲空间上的东西,纤维丛隐藏在:

1)弯曲空间

的几何需要用一些张量场(度规

,复结构

,切触结构

)来定义,这些场继而导致空间上的切丛和外代数丛携带更精细的结构;

2)所有的场(动态的规范场、背景的规范场、旋量场、标量场)等都应该是相应矢量丛的截面

3)所有的微分方程都是截面方程;

4)这些微分方程的解本身就隐藏了相应矢量丛的拓扑结构;

5)这些微分方程的全体解构成更神秘的模空间

6)

的拓扑性质(同调与上同调等)以及

其他纤维丛的拓扑性质反过来与

的性质纠缠在一起。

参考文献

[0] 梁灿斌,微分几何入门与广义相对论

[0] 侯伯元,侯伯宇,物理学 家用微分几何(由浅入深,深不见底(许多术语中文翻译看着尤其别扭))

[1] M. Nakahara, Geometry, Topology and Physics, Second Edition (Graduate Student Series in Physics)(由浅入深,基础全面)

[2] Bertlmann, Anomalies in Quantum Field Theory(量子反常相当详细的介绍,偏几何)

[3] Hori, Katz, Klemm, et.al, Mirror Symmetry(大黄书,可以跳过数学部分,直接看物理部分,开头几章通俗易懂,以 2 维场论为主要内容)

[4] Witten 的老论文,Donaldson 的老论文,近10年 Pestun, Nekrasov, Gaiotto, Benini组, Hosomichi组, Dumitrescu组, Pasquetti组, Drukker组等无数前辈关于 supersymmetric partition function 的计算和结果分析,以及Superconformal Index 的计算(不熟)。

【2b青年的回答(9票)】:

谢邀。我不懂物理,数学上纤维丛本身就是一种构造新流形的手段,比如构造曲面上的S^1-bundle或者S^1上的曲面bundle都可以得到一族三维流形,而知道一个流形有纤维丛的结构对于研究它的拓扑显然是有好处的。另外在代数几何里面fiber product也是个司空见惯的东西。总之在涉及几何与拓扑的数学里面纤维丛是很基础的对象。

题主说到quantization,我不懂quantization,但我知道这个词语在物理与数学的很多分支里面都有出现,在不同的语境下面有非常不同的context。所以希望题主说明白到底是什么东西里面的quantization,以帮助懂的人顺利解答。

【杨晓堃的回答(4票)】:

局域截面映射之间的转换关系,可以很自然的在底流形给出规范势的变换。"

-------------

看不懂这一段话,没理解到这个层次。

(个人感觉:物理学家已经研究透彻了U(1),SU(2), SU(3)模型下的粒子谱,得到了所有的物理性质,然后,有人出来,用纤维丛把这些已知的、分散的知识点很nice的写成了一个简洁形式而已。

===

“之前看过有一种说法是,纤维丛在做量子化的时候也有很大的用处,不过题主水平有限,没有能深入了解。希望看到有这方面的讨论 谢谢。”

----------------

不清楚。

===

”这里的量子化是指场的量子化,比如非微扰情况下对规范场(比如Yang-MIls场)的量子化。问题也可以扩展为是否可以通过纤维丛理论理解瞬子,量子反常? “

------------------

瞬子不是通过纤维丛理解的,瞬子是有它自己的物理意义。

纤维丛记号很简洁的给出了瞬子推导而已。

====

"但是对于规范场的量子化(Fadev-popov方法)以及BRST Cohomology不了解。 如果有人可以简单介绍一点这方面的东西也好。欢迎各方面的讨论。"

------------------

这个好回答

The elegant method to determine the physical Hilbert space in a gauge fixed action

with ghosts is known as BRST quantization.

至于细节,还是找本书看吧,这个没有捷径。柯洁赢得三大冠,也是靠下的无数盘棋做支撑。

===========================================

场论的一切是为了粒子:粒子的分类和性质。找到正确的物理理论后,会有人出来说:这个是某某牛逼的数学概念。

至于高大上的数学技巧,多了去了,浩如烟海,但是,不可能从数学角度给出一个物理理论。

【liray的回答(2票)】:

谢邀

你的问题等价于在问sheaf theory为什么这么有用,我不懂物理,过两天稍微详细答点数学

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