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如何理解拓扑超导和 Majorana 费米子?

【单君翌的回答(93票)】:

现有的答案都没怎么仔细讲,我试着做一个最简单介绍吧。

首先,Majorana fermion的定义是一个粒子是它自身的反粒子。用二次量子化的语言,可以写成

从这一点出发我们可以在最简单的模型中构造Majorana fermion。从这一点出发我们可以在最简单的模型中构造Majorana fermion。

考虑一个Hamiltonian具有single bound state

它只有一个负能量的态它只有一个负能量的态

以下我们只考虑系统的这个负能量束缚态。在many-body Hilbert space中,它的energy spectrum为

这个Hamiltonian中实际上就隐藏着Majorana。我们可以定义算符这个Hamiltonian中实际上就隐藏着Majorana。我们可以定义算符

它们都是实算符它们都是实算符

平方为1平方为1

满足反对易关系满足反对易关系

显然这两个就是Majorana算符。但是这两个算符完全没有意义,因为它们互相耦合在一起,同时出现。用这两个算符可以把Hamiltonian写作显然这两个就是Majorana算符。但是这两个算符完全没有意义,因为它们互相耦合在一起,同时出现。用这两个算符可以把Hamiltonian写作

再考虑一个稍微复杂的情形。如果有两个delta势阱,Hamiltonian写作

对这个问题取两个基函数对这个问题取两个基函数

进一步把Hamiltonian写成二次量子化形式进一步把Hamiltonian写成二次量子化形式

这其实与固体物理中的紧束缚近似非常相似。变换成Majorana算符的形式这其实与固体物理中的紧束缚近似非常相似。变换成Majorana算符的形式

我们此时有了一个toy model,这个玩具所有的参数都是可以人为调节的。可以看到如果令我们此时有了一个toy model,这个玩具所有的参数都是可以人为调节的。可以看到如果令

,Majorana算符l-和r+couple在一起,l+和r-couple在一起,而不是同一个site的Majorana算符配对的平凡情形。

我们的目的就是把两个Majorana算符分离开。考虑减掉上图的一条相互作用线,把模型写作一个链,Hamiltonian为我们的目的就是把两个Majorana算符分离开。考虑减掉上图的一条相互作用线,把模型写作一个链,Hamiltonian为

再次令再次令

。Majorana算符现在是分离的。再重新定义新的产生湮灭算符

此时在两边剩下了两个zero mode此时在两边剩下了两个zero mode

这时我们找到了两个Majorana edge modes. 如果反过来,令

又会变成平凡的情形。这两个情形分别对应topological non-trivial和trivial的相。

再回到原来的Hamiltonian。对同一个site的Majorana算符定义产生湮灭算符

得到Hamiltonian的形式为得到Hamiltonian的形式为

这里假设了这里假设了

。这就是所谓的Kitaev chain。更通常的写法是

每一项都有非常清楚的物理意义。第二项求和中第一个是nearest neighbor hopping,第二个是induced superconductivity。注意到我们从头到尾都没有标自旋指标,也就是模型是spinless的,暗示着超导必须是p-wave形式才可以。每一项都有非常清楚的物理意义。第二项求和中第一个是nearest neighbor hopping,第二个是induced superconductivity。注意到我们从头到尾都没有标自旋指标,也就是模型是spinless的,暗示着超导必须是p-wave形式才可以。

上面已经说明了这个Hamiltonian可以有两个不同的拓扑相,接下来仔细分析这个Hamiltonian。

它具有Bogoliubov-de Gennes方程的形式,引入Nambu spinor

把Hamiltonian写成标准BdG方程形式把Hamiltonian写成标准BdG方程形式

其中其中

对角化得到对角化得到

其中其中

是Bogoliubov准粒子

bulk激发谱为bulk激发谱为

当体系的化学势调为当体系的化学势调为

系统是无能隙的,暗示可能会发生拓扑相变。系统是无能隙的,暗示可能会发生拓扑相变。

体系的拓扑性质可以由winding number来确定。Hamiltonian写成Pauli矩阵之和

在在

空间中有以下可能的情况

由于体系的对称性可以用一个更简单的公式来确定拓扑由于体系的对称性可以用一个更简单的公式来确定拓扑

+1和-1分别对应strong paring和weak paring state。+1和-1分别对应strong paring和weak paring state。

实际上可以进一步解出topological non-trivail的态在两边具有Majorana zero mode。此时的体系的状态是拓扑超导体。实际上可以进一步解出topological non-trivail的态在两边具有Majorana zero mode。此时的体系的状态是拓扑超导体。

以上就是1D Kitaev chain的介绍。说明了在1维p-wave超导体中可以有两种拓扑不同的相。非平凡的拓扑可以在边界处产生Majorana zero mode。

拓扑超导体是更广义的SPT(symmetry-protected topological) order中的一类。序(order)是凝聚态物理中很重要的一个概念。通常人们最熟悉的Landau理论中的序参量。随着对高温超导和分数量子霍尔效应等现象的了解,人们意识到Landau理论不能描述所有可能的order,提出了Topological order的概念。而Symmetry protected topological order顾名思义是由对称性保护的拓扑序(严格的说SPT order和topological order并不一样,可以参考wikipedia的解释)。

p-wave超导体中具有particle-hole symmetry,可以参考KaneHasan的RMP,这里简要摘录一下

当然这种对称性对Hamiltonian还有更具体的要求,详情请阅读原文章。当然这种对称性对Hamiltonian还有更具体的要求,详情请阅读原文章。

上图描述的是一维超导体的边界态。由于particle-hole symmetry的要求,能量E处如果有edge state则-E处也会有。一维拓扑超导体则有拓扑保护的零能态,即在两端存在Majorana zero mode。上图描述的是一维超导体的边界态。由于particle-hole symmetry的要求,能量E处如果有edge state则-E处也会有。一维拓扑超导体则有拓扑保护的零能态,即在两端存在Majorana zero mode。

更多SPT态的分类见下表

上面的小字解释了如何看这张表。表的最左边是系统对称性的分类。上面的小字解释了如何看这张表。表的最左边是系统对称性的分类。

,

分别表示不同的对称性。举几个例子,在A类中没有任何对称性,只有在二维情况下有拓扑分类,比如IQHE。Z2拓扑绝缘体有时间反演对称性,对应于AII类,二维和三维都有Z2拓扑类。刚才描述的拓扑超导体则属于D类或DIII类,一维都具有Z2拓扑类,分别是trivial和non-trivial两种。

待续。。。知乎公式全挂了,可以做一下填空。。。排版丑哭了。。。有时间会写一下各种实现topological superconductor的proposal,还有Kouwenhoven和Yazdani的实验。

Ref:

[1] A. Yu. Kitaev, Unpaired Majorana fermions in quantum wires, Phys. Usp. 44, 131 (2001).

[2] J. Alicea, New directions in the pursuit of Majorana fermions in solid state systems. Rep. Prog. Phys. 75, 076501 (2012).

[3] M. Z. Hasan and C. L. Kane, Colloquium: Topological insulators, Rev. Mod. Phys. 82, 3045.

[4] Gil Refael's notes on Majorana fermions.

【Nonlinear的回答(34票)】:

这个答案作为回归知乎首答好了,顺便可以理一下我半年来一直寻找拓扑超导体的思路;

首先提到topological materials,必须要提对称性保护的问题;比如topological insulator是time-reversal-symmetry保护的,dirac/wely semi-metal是平移对称保护的,对于topological superconductor来说是particle-hole symmetry保护的;不同的symmetry-protect都会导致零能态,从而使得拓扑序发生变化,这就是为什么说它是topological materials的原因;

Majarona费米子与topological superconductor的关系其实可以看看Kane和Hasan的那篇Rev. of Mod. Phy. 这篇是从topological band theory引入的,比较直观适合初学者看,虽然当时我刷的时候也没看懂多少;Xiaoliang Qi和Shoucheng Zhang的那篇RMP是从topological field theory引入的,比较适合有一定底子的人去看;

至于TSC在实验上的实现,现在为止还是一笔糊涂账;三维TSC的话,有人说CuxBi2Se3是TSC,但是也有人说不是;实验上确定这个是不是TSC其实是观察(零点漂移)zero-bias,如果有零点漂移的话,就证明这个超导体可能是p-wave 超导体,也就是拓扑超导体;p-wave就是拓扑超导体这个结论在香港大学Shunqing Shen的那一本讲拓扑绝缘体的书里面讲的很详细,在此就不拆开说了;

关于CuxBi2Se3这个体系其实有个很有意思的故事,是讲当年University of Osaka的Yochi Ando(此人发了70+的PRL貌似)说用STM观察到了零点漂移,但是过了一年有一个叫Tong Zhang的人说这个零点漂移其实是因为针尖污染(囧),其实CuxBi2Se3是普通的s-wave 超导体,总之这个架打来打去,谁也没办法说服谁,现在大家基本上都不去做这个体系了;

TSC其实还有一些别的实现方法,这也是我一直以来工作相关的东西,在此就不细说了,谁有兴趣可以私戳我讨论;

这次排版比较乱- -回答也比较随意,如果哪位知友看了觉得还是改改排版比较好那尽管跟我说好啦,虽然我不一定会改www

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