把肉拿出去晒的时候想到的,一根钢丝,两端是固定绞支座。肉如何挂才能使钢丝在极限承载力之下挂更多的肉?

发布时间:2017/01/11 21:02:33 投稿: 网友投稿

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导读: 【NathanChan的回答(483票)】: 好久都没有看见过这么有意思的问题了。 首先作为分析的基准,不妨先看一下如果猪肉大小都一样,均匀挂在绳子上的情况。为了分析方便,把均匀分布的重量相同的猪肉简化为水平方向的均布荷载 q。 假设支座之间的距离为 2L,因为...

【NathanChan的回答(483票)】:

好久都没有看见过这么有意思的问题了。

首先作为分析的基准,不妨先看一下如果猪肉大小都一样,均匀挂在绳子上的情况。为了分析方便,把均匀分布的重量相同的猪肉简化为水平方向的均布荷载 q。

假设支座之间的距离为 2L,因为对称,所以只取一半结构进行分析。这一半索结构的水平长度为 L,竖直高度为 h。显然,索中点的拉力最小,而且因为对称,所以只有水平方向的分力,也就是上图所示的 H。而索拉力最大的地方显然在支座,也就是上图所示的 F。

以索中点为原点,建立 xy 直角坐标系。不管猪肉如何分布,对于任何分布情况的荷载 q,这条绳子在平衡位置时的几何位置都必定满足

如果猪肉均匀分布,那么 q 为常数,求解这个微分方程,再带入原点的边界条件,我们可以得到这条绳子的几何形状的表达式,也就是

对于右侧支座,其坐标为(L,h),均为已知量,代入上面的几何形状表达式,可以得到

变换一下这个式子,我们就能知道索中点位置的拉力

对于这一段绳子,如果假设绳子的自重相对于猪肉总的重量可以忽略不计,那么其实只受三个力:索中点的水平拉力 H、索支座处的支座反力 F 和所有猪肉的总重力 qL。那么支座反力,同时也是最大索拉力的大小就等于

化简一下,最大索拉力就等于

此时索的总长度 S 为

为了更直观的比较,我们不妨假设一些实际的数值,比如绳子的总长度为 1 米,那么 L 就等于 500 毫米,绳子中点下垂的距离为 5 厘米,也就是 h 等于 50 毫米。绳子上总共均匀挂了 100 千克的猪肉,那么 q 就等于 0.1 千克每毫米。

把这些数值代进上面的公式,此时的最大索拉力 F 为 254.95 千克,也就是相当于 2.5 千牛。此时绳子的总长度为 1006.6 毫米。

好,下面我们可以看一下猪肉不均匀分布时候的情况了。现在的外荷载变成了下图这个样子,也就是 q 不再是一个常数,而是一个关于 x 的线性函数,其余的参数均不变。

此时绳子的平衡位置时必定满足

这个微分方程的解变为

注意到如果 k 等于 0,也就是猪肉均布,那么这个式子其实就是上面均布猪肉时的式子。

同样,代入右侧支座的边界条件,可以得到

索中点位置的拉力为

最大索拉力的大小就等于

接下来,我们就可以看几个具体的例子了。

同样还是 100 千克猪肉,现在采用方案二,不是均匀分布了,而是中间最大,两端为 0 。也就是说,q0 等于 0.2 千克每毫米,k 等于负的 0.2 除以 500 等于-0.0004。带进上面的式子,此时的最大索拉力为 337.06 千克,是上面均匀分布时的 1.32 倍。也就是说,这时候的绳子需要承受 1.32 的拉力,面积也要相应的扩大到原来的 1.32 倍。

如果采用方案一呢,也就是中间为 0,两端最大,此时 q0 等于0,k 等于正的 0.0004。同样,代进上面的式子,最大索拉力为 174.00 千克,是均匀分布时的 68%,是方案二的 51.6%。

我们不妨定义一个参数 a,a 等于中间的猪肉大小除以两端的猪肉大小,代表猪肉往中间的集中程度。然后我们把这三个方案并排着对比一下:

整体的趋势就是,整体的趋势就是,猪肉越往中间集中,绳子所需要承受的最大拉力就越大,绳子就需要更粗一些;反之,越往两侧集中,绳子的拉力就越小,绳子就可以更细一些。

如果我们保持猪肉的总重量不变,多尝试几种不同的线性分布,对应不同的系数 a,然后再看一下这个系数与最大拉力之间的关系,那么将会是这样的:

图中的黑色圆圈对应的就是我们上面讨论的这几种特殊情况,当 a 等于 0 的时候,中间猪肉为0,两端最大,此时拉力为 174;a 为 1 的时候,均匀分布,拉力为 256;当 a 非常大的时候,猪肉集中在中间,此时拉力趋近于 337。图中的黑色圆圈对应的就是我们上面讨论的这几种特殊情况,当 a 等于 0 的时候,中间猪肉为0,两端最大,此时拉力为 174;a 为 1 的时候,均匀分布,拉力为 256;当 a 非常大的时候,猪肉集中在中间,此时拉力趋近于 337。

不过,以上的分析建立在绳子下垂的距离 h 为定值的基础上,此时绳子的总长度对于不同的猪肉分布情况是个变量,如果绘制出绳子总长度关于这个系数 a 的变化,那么将会是这样的:

绳子两端之间的水平距离为 1000 毫米,随着猪肉逐渐从两端向中间集中,如果假设下垂的距离 h 不变,那么绳子的总长度事实上在发生微小的变化,从 1009 逐渐变化到 1006。绳子两端之间的水平距离为 1000 毫米,随着猪肉逐渐从两端向中间集中,如果假设下垂的距离 h 不变,那么绳子的总长度事实上在发生微小的变化,从 1009 逐渐变化到 1006。

如果绳子的总长度是个定值,而下垂的距离是一个变量,那这问题就复杂了,期待有大神做出解答

对于一般的结构设计,比如悬索结构,给定的一般是猪肉重量、跨度、高度限制,通过找形确定几何形状,然后给出设计方案。所以通常面对的情况都是 h 给定,而绳子的总长度可以变化。事实上,我们通过上面也可以看到,对于不同的荷载分布,绳子的总长度的变化非常微小。

感兴趣的同学请继续猛戳下面这些链接:

为什么悬索桥的跨越能力如此强? - 猪小宝的回答

桥梁是不是都是凸起,而没有凹下去的? - 猪小宝的回答

【许亦文的回答(36票)】:

我觉得钢丝和软绳差不多,主要考虑抗拉强度,忽略钢丝受拉变形,忽略钢丝的重量。

方案1中钢丝拉力更小。

考虑一种简单的情况:

支座间距离为D,钢丝长度为L,LD。

假设有n块肉(重量G1,…,Gn),挂完后把钢丝分成了n+1段,相邻两块肉的水平间距都是d。

D、L、n都是已知的。给定已知条件后,需要求每一段的倾角以及拉力Ti。

取D=5m,L=5.1m。挂4块肉,n=4。

悬挂方案1:

肉重量依次为:30,10,10,30 N。

算得各段拉力为:135.0263,129.3526,128.9655,129.3526,135.0263 N。

最大拉力135.0263 N。

悬挂方案2:

肉重量依次为:10,30,30,10 N。

算得各段拉力为:162.0770,159.9030,157.0636,159.9030,162.0770 N。

最大拉力162.0770N。

容易知道,方案1 更优。

从匿名用户答案里借用一张图 (把肉拿出去晒的时候想到的,一根钢丝,两端是固定绞支座。肉如何挂才能使钢丝在极限承载力之下挂更多的肉? - 匿名用户的回答),不同悬挂方案下的钢丝形状如下:

感谢 @Robert Zhou 指正,单位用N比较合适。

我列方程求解的,方程推导过程比较简单,大家可以自己试一试。

有2(n+1)个未知数:每一段的倾角和拉力。

有2(n+1)个方程:

由每个挂肉点受力平衡,可以得到2*n个方程。

绳子总长度是L,列一个方程。

绳子两端高度相等,列一个方程。

方程列出来之后,编程求解即可。

代码:

clear all;

close all;

n=4;%肉的数量

G=[10,30,30,10,0];%前n个数为肉的重量

D=5;%两端点水平间距

L=5.1;%绳子长度

A(1:n+1,1:n+1)=0;

for i=1:n

A(i,i)=1;

A(i,i+1)=-1;

end;

A(n+1,:)=1;

T=inv(A)*G';

Cx=0.000001;C=1;Cd=100000000;

temp=sum(sqrt(1+T.*T/C^2))-L/D*(n+1);

while abs(temp)0.00001

if temp0

Cx=C;C=sqrt(Cx*Cd);

end;

if temp0

Cd=C;C=sqrt(Cx*Cd);

end;

temp=sum(sqrt(1+T.*T/C^2))-L/D*(n+1);

end;

Tan=T/C;

Cos=1./(sqrt(1+Tan.*Tan));

Tforce=(C./Cos)';%各段拉力

【许亦文的回答(19票)】:

@猪小宝 前辈的做法好像有点缺陷,钢丝中心下垂高度不是常数,钢丝长度才是常数。

用 @鹤运 的代码算了一下,根据计算结果画出不同悬挂方案下的钢丝形状,可以看到钢丝中心下垂高度是不一样的。

(单位:m)(单位:m)

论答案的水平,还是 @猪小宝更高。审题则 @鹤运 审得更认真,在他程序中把n取得很大,也能得到与猪小宝前辈类似的曲线。

【FelixHo的回答(10票)】:

这个题目很有趣,也来凑个热闹。希望与 @猪小宝@冯某某 讨论一下。

我觉得从数学上说,结论应当是「把所有猪肉均匀分两半直接挂在两端」。

首先分析一下,看看这个问题数学上的约束有哪些,借用 @冯某某答案里的一张图,如图建立坐标系,绳子中点(也就是这里 A 点)处的拉力为 H

设曲线是设曲线是

,假设载荷沿 x 轴方向分布是

,那么就有

这里设了载荷沿 x 轴方向分布的表达式是为了计算方便,得到计算结果后,根据曲线 y(x) 很容易计算出载荷沿着曲线弧长方向的表达式。(在经典的悬链线计算的例子中,之所以用沿弧长的载荷分布是因为沿弧长的分布是常数,能带来计算上的便利,而在这里不管怎样都是变量,所以无所谓了)

有两个天然的约束:

第一个约束是总绳长为定值,第二个约束是载荷总质量为定值。我们设

然后把 (1) 代入 (2),同时用 (4) 来化简,就可以得到

如果给定了

,那么根据 (5) 可以解出拉力

,也就是说,

是载荷分布函数

的泛函。不过很遗憾,这个泛函我写不出来,更别说求解了。

不过从另一个角度来思考,对 (5) 式分析可知,H 越小则 P 越小,才能保持积分值不变,那么如果不对积分值做限定,同时视 H 为一个定值,那么我们的目标就是让 P 尽量小。于是答案也就显然了:

也就是,把所有质量都挂到支座上。

这不违反任何约束条件。

PS. 即使争辩说这不是一个连续函数,那我们仍然可以构造出一系列形如:

这样的函数来逼近,显然 n 越大,绳索中的拉力就越小,当

结果就是上面那个分布。

下面贴几个我自己针对上面这种形式的

的数值计算结果,蓝色线代表载荷分布,为了表示清楚,我把载荷分布坐标轴取向下为正,蓝色部分面积就是所有的总载荷;绿色虚线是绳索的形状;黄色线是绳索中张力分布。

这是

的结果,也就是载荷均匀分布的情况,绿色虚线就是抛物线

下面是下面是

的结果,也就是 @猪小宝答主分析的载荷线性分布的情况,可以看到,张力(黄线)比上面的图中要小

下面是下面是

的结果

下面是下面是

的结果

下面是下面是

的结果

【许亦文的回答(14票)】:

先上结论:

1、肉的分布不同,钢丝的线形不同

2、肉总重一定,钢丝整体的垂度一定时,钢丝能承受最大拉力一定时,方案1更优。

这个结论可以通过悬索基本微分方程证明,这里用倒挂法的思路类比静定拱简单说明一下。

钢丝不能受压,因而在荷载作用下将自然形成反转的合理拱轴线(荷载下内力只有轴力无剪力和弯矩的线形),我们先把钢丝反过来,这样结构变成了完全受压,其他不变。

合理拱轴线下拱的重要力学特征是:任何一个截面的内力,其轴力的竖向分力等于等代梁相应截面中的剪力,水平分力与该截面高度的乘积与等于等代梁相应截面中的弯矩。

肉的总重W不变的话,最大竖向分力一定出现在支座处,大小为

现在看水平分力,首先是完全均布的情况:

荷载集度

,于是弯矩分布为二次抛物线,这也是合理拱轴线的形状,跨中最大弯矩

因为没有水平外荷载,所以任意截面轴力的水平分力都是一样的,都等于跨中

然后看两头大中间小,这里考虑三角分布的情况(梯形情况趋势一样,不影响结论):

最大荷载集度

,最小为0,可以计算出弯矩分布为三次抛物线,也是合理拱轴线形状,跨中最大弯矩是

,水平分力为

再看两头小中间大的三角分布情况:

最大荷载集度

,最小为0,可以计算出弯矩分布为三次抛物线,也是合理拱轴线形状,跨中最大弯矩是

,水平分力为

比较一下上面的结果发现:水平分力的大小排序是:中间大两头小均布中间小两头大

由于三种情况下的最大竖向分力是一样的,而最大轴力为水平分力与竖向分力之矢量和,所以,中间大两头小的轴力大于中间小两头大的轴力。

把拱倒回来就是索了,轴力由压变为拉,其他不变,在钢丝强度一样的情况下,自然是轴拉力越小越好,因而,方案1,中间小两头大的挂法更优。这与一般的直观感受是一致的。

【罗杰的回答(8票)】:

看到以上回答都没考虑绳子绷紧的情况,觉得有些意思,又补了一个绳子绷紧时的算法 (绳子绷紧承载力肯定不行)

钢丝较细,看作完全柔性,受力点处看作铰

N1 N2 角1 角2 四个个未知量 四个方程

更于2月16日

不觉得绳越下垂,绳子拉力与肉重力方向越接近,绳子轴力越小吗?

力学上我觉得这样比较好。

两支座无限近(如果按题主那个模型)

谢谢评论哈,咱就让支座不变咯。

肉不能贴墙,我没满足功能要求。

所以,

【阿的的回答(5票)】:

质量分布

应当是蕴含积分边界条件的优化问题的解。

肉的分布假设离散的情况下,应该按中间隔的绳长为定值,而不是按间距成定值。如果不考虑滑动单纯假设绳子有弯曲的情况下。所以不可以省略悬链线方程右边的dS项我觉得。。也就是我觉得前面答案的定量结果都不太对。

边界条件是绳长为定值,和分布力积分为定值。

其中y是载荷的位移场,也就是绳子的形变方程,y表示垂直的位移。

是载荷的分布方程。

优化目标是重力势能最小。

这里也就是: Minimize

其中y(x)是在该分布外力下自然呈现的绳子形态。

也就是满足

这个很常见的下面解悬链线方程的思路。

要注意这里的H也不是一个常量,而是依赖于

的变量XD,从y的角度上看,H只依赖于y的一阶导数的边界条件。

我们可以这么理解,给定一个外力分布

就有确定一个位移场

,就可以积分出一个能量。

对全部的外力分布中,总有一个,使得能量最小。

所以要先算一次最小值算出

,然后对全部的

算出总能量的最小值。一共是算两次极值XD。

重力势能就是这样。

然后用变分法可能可以解出这样的

尝试做第一个优化:

边界条件

用欧拉拉格朗日方程:(死算中,已经算了一张草稿纸。。)

下面

改用

,好打。

(求y关于r的表达式。死解中,又算了一张草稿纸XD。。)

这样下去总是能算出一个力分布的,应该和我下面猜测的悬链线倒过来很像(然而这并没有什么卵用,定量过程出定性结果是没有意义的)

我这么说是因为...虽然变分法没做出来,但是跑了一下动态规划的结果。就是把所有质量分成10000份,然后看每一份放在哪里能量最低。然后发现对称放两边能量最低。。就是把所有肉加在两端的铰附近..我觉得这个物理模型本身有问题,我要想想怎么改XD看起来能量最低确实不行,需要的还是控制整根绳子上最大的力。也就是两边铰上的力。

也就是 Minimize

依旧要做第一个优化,然后求出边界上的导数值。

接下来带进T的方程,用变分法解第二个问题。我接下来用两天解解这个问题,做不出来就匿名

【要是动态规划结果不好,(因为可能是背包问题,但是我用naive的动态规划方法可能得到很奇怪的结果)我可能也会放弃这个问题XD】

(正常悬链线方程是:

@猪小宝@鹤运 前辈还要商榷一下。。忘记右边第二项是伯努利时代的错误。。漏掉表示认为载荷分布和曲线的弯曲没有任何变化关系)

cite:随便百度了一个网址 classroom.dufe.edu.cn/s力学基本概念/悬垂线.html

悬链线_百度百科

悬链线方程的推导过程

如果只是想要一个定性结果,我觉得前面说的很有道理。

从方程中来看,我们应该保证所有点的拉力都比较小,我们最关心受力最大的点。大致也就要求全段的几何位移基本相同,然后两边把他拉住。

我不是很会定性的看问题,就不胡扯了。。

但是我觉得很像合理轴线,所以合理轴线的结果告诉我们,力的分布大致就是倒过来的悬链线。也就是中间基本相等,两端趋近无穷。这可能是个解,我等会带到边界条件里面看看。

也就是我猜解是这个

没按习惯,这里倒着画载荷。

方程可能会推错,欢迎各位指正。

懒得画图QAQ见谅

【许亦文的回答(3票)】:

如果肉的重量相对较大,这个cable结构是很taut的,但是如果考虑cable自重和它的抗拉强度,简单的分析有点不够用。说一个思路,先取结构的一半来分析,因为对称。用Irvine(1981)的分段悬链线方程,这个方程是考虑自重和extensibility的解析解,肉的载荷当成clump weight处理。horizontal span是一定的,很容易迭代得到最终的configuration,是精确解。然后比较下极限应变就行。

用解决别的问题的code大概算了一下,注意因为不是专门写的,得到的结果只是近似,尤其是最下面一段绳子,应该是水平的。绳子用的是polyester, 相关输入信息和configuration如下

E of each segment

3500000000 3500000000 3500000000

A of each segment

0.0002 0.0002 0.0002

length of each segment

0.51 1.02 1.02

wet weight of each segment

2.82 2.82 2.82

clump weight at the upper end of each segment

10 30 0

1,中间是轻的肉块

2, 中间是重的肉块2, 中间是重的肉块

可以发现,肉块相对绳子很重的情况下,线被拉得很紧, 可以看成直线,也就是说polyester的绳子自重对问题影响不大,可以像之前的前辈的回答一样近似处理。可以发现,肉块相对绳子很重的情况下,线被拉得很紧, 可以看成直线,也就是说polyester的绳子自重对问题影响不大,可以像之前的前辈的回答一样近似处理。

如果把绳子的自重加大20倍,,重物在中间的configuration如下

可以看出已经有了点suspended的意思了。但是垂直方向的变形还是差不多可以看出已经有了点suspended的意思了。但是垂直方向的变形还是差不多

下图是重线,没有加重物的configuration

于此同时,水平方向的力可以得到,结合绳子每一点已知的垂直方向的力,tension就知道了。进而可以算出每一点的形变,进而用于比较各种设计。于此同时,水平方向的力可以得到,结合绳子每一点已知的垂直方向的力,tension就知道了。进而可以算出每一点的形变,进而用于比较各种设计。

Irvine, H. Max. Cable Structures The Mit Press Series in Structural Mechanics,1981.

【刘知的回答(2票)】:

前面的答案分析的很细致。我用高中知识回答一下。

引理一:钢丝或者软绳的拉力处处相等。

引理二:挂上去的肉所受的重力等于两个挂点收到拉力的合力。

假设一:挂的方式是对称的。

我们把目光放在挂点处,这个位置钢丝上的拉力的垂直分量等于肉的重力的一半。在拉力有上限的情况下,钢丝的方向越偏向于垂直,能挂的肉越多。

极限的结果是:

| |

| |

----------------------------------------------------------------------

把肉合并成2坨,计算好钢丝的长度,让两边都垂直的挂起,此时能挂的最多。

换句简单的话:挂两边,就对了。

【胡新越的回答(2票)】:

一寒假就帮家里晒肉。。。

我是不清楚你们那一堆原理

潘某人家里是这么晒肉的。

中间的那个支架是棍子。

很稳定。

中间那个支架当然要结实一点

【hanser的回答(2票)】:

作为一个渣的不能再渣的学渣,看到两个图,第一想到的事整个绳的弯矩分配图,把重的放在支座附近很明显能减小跨中的弯矩,所以个人认为把重的放在边上会挂的更多!

最重要的是,大过年的!开心就好!!!!

【赵富山的回答(2票)】:

第一种。

炮弹打蚊子,浅入深出且一头雾水。

最简单的分析方式是如果受均布荷载,绳中间所受拉力最大,中间一定最早到达极限,所以肉挂两边更合理。

养了一群羊,就不要可着中间一只薅羊毛了。

阅读完本文还推荐您阅读: 小肠不应该是有很多褶皱的吗,

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