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球谐函数是什么?

【ZuodongMu的回答(114票)】:

因为题主是从光学角度提问的,下面就从光学角度出发作答,当然实际上无法绕开数学。

球谐函数和振动有关,从某种意义上来说,它和三角函数没什么区别。因为它们只是在“不同坐标系”下描述“不同方向”的振动。

我们知道,Maxwell方程导出的波动方程

(均匀各向同性介质)是描述许多光学现象的出发点。直接假定场在时间上是简谐振动的

(单色光分析),立刻就有

,其中

。当然这个方程可以描述很多种现象,如果把E理解为温度T,并取

,这就是稳态热扩散方程;如果把

理解为特征值,这就是单自由粒子的定态薛定谔方程。所以这个方程的解,及其表现出的一系列振动特征,在许多领域都是普适的。

我们通常会在3种坐标系下求解这个方程,也就是矩坐标、柱坐标、球坐标。具体应用,在光学中,比如矩形腔、矩形波导,圆柱腔、圆柱波导,球型腔。热学中,可以有方块、圆柱、球的热扩散问题。量子力学里可以有方势阱、柱状阱、有心力场(氢原子)中的粒子运动问题。

每种坐标系都有3个方向,矩坐标x、y、z,柱坐标

,球坐标

。上述方程在每种坐标的每个方向上都会形成特定的振荡形态(有时会出现衰减或放大形态)。球谐函数

描述的就是球坐标系中在

方向的振荡形态。这件事通过分离变量法可以看得很清楚。

方程的具体求解都是通过分离变量进行的,具体是:

矩坐标

柱坐标

球坐标

具体求解过程教科书上都有,这里不再赘述,只看结果。注意,分离变量后的每一个子函数都描述了一个特定方向的形态。

矩坐标系的处理在数学上是最容易的,我们知道三个方向都有相似的振荡模式,由三角函数描述,比如

,一般写为

。如果

是实数,就是一个振荡;如果是虚数,就是一个指数衰减(或放大)。

在柱坐标系中,

和矩坐标系没什么区别,也是

的形式。

的解是贝塞尔函数,注意,贝塞尔函数

描述的就是径向振荡形态,

描述的是径向放大或衰减形态。这和

有相似的意义。

具有

形式的解,也是一个振荡(由于

向通常要求周期性,故没有非振荡解),只是角向振荡。

在球坐标系中,

的解是球贝塞尔函数,意义和柱坐标系下类似。

仍旧具有

形式的解(同样有周期性要求)。

描述了

方向的振荡,只不过具体数学形式比较复杂(涉及勒让德函数)。“球谐函数”就是

最后,上面出现的各种函数都有各自的正交完备性,类似于三角函数的正交完备性。所以可以用来展开其他函数,正如傅里叶变换。

【吴小曼的回答(63票)】:

定义

为角动量算符(微分算符),球谐函数是角动量算符的本征函数:

在球坐标下,

可以使用分离变量法这两个方程 :

显然容易得到,

作为角动量算符的本征函数,球谐函数具有良好的转动性质(另见:CG系数)。

函数形式

这里

是勒让德多项式,

正交完备性

因此球谐函数可以作为一组正交完备基,展开任意“性质良好”的函数

图形

3D 图(球坐标):

2D密度图:

应用

应用在拉普拉斯算符——散度:

这是因为散度算符是没有方向的。拉普拉斯方程、赫姆霍滋的解可以写成:

应用在多极展开:

, 其中

是极坐标,

实际上,该函数是非齐次拉普拉斯方程,

,在自由边界条件下的解。自由边界条件下任意非齐次拉普拉斯方程的解都可以由此构造出来,这就是所谓的库仑定律

  • 若函数

    满足:

    是个性质良好的已知函数。则,

.

应用在量子力学 —— 氢原子波函数、分子轨道等:如氢原子的薛定谔方程可以写作:

其中含有拉普拉斯算符,因此氢原子的波函数可以写作:

其中

是其本征态分类。

【阿凡提骑驴找驴的回答(42票)】:

大家说得都很明白了:

从在物理中的来源上看, 球谐函数是 Laplace 算子角项部分的一组正交完备的解.

从数学上看, 球谐函数实际上是 SO(3) 一组不可约表示的基, 而 Laplace 算子角项部分也正好就是 SO(3) 的 Casimir 算子.

容易验证, SO(3) 的三个生成元在

上的可微函数构成的空间的线性表示是

. 根据最高权表示定理, 我们知道一定存在非零向量

满足

,

. 换到球坐标系下求解这个微分方程组, 就得到了球谐函数

. 不断对其作用

直至为零, 就得到其他的球谐函数. 这可能算是球谐函数的另外一种"推导方式"?

由此可以根据群论的知识立刻得到球谐函数一大票性质, 不在此赘述.

【津谷壹岐的回答(2票)】:

不太能看懂推导,这应该不是球谐函数的问题吧。。

回头重新看看球坐标下的拉普拉斯方程(或者亥姆赫兹方程)是怎么分离变量的。

球谐函数是三维空间坐标的拉普拉斯算符作用在标量函数上进行变量分离后,在求坐标下,两个角度坐标子空间中的正交完备基函数。正交完备的意思是可以展开任意性质良好的函数,至于每个基函数的图像,可以上wiki看看图片。

顺便提一句,这个函数是复函数。另一个回答里面给出了基本的数学表达式。

【JXConsp的回答(8票)】:

你为什么不用wikipedia?这种几乎每个理工科学生都会学的知识在wikipedia上写得堪比教科书,甚至优于教科书。

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